置き換えによる三角関数の最大・最小

$t = sin x$ や $t = sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{4})$ とおき、 $x$ の範囲から $t$ のとりうる範囲を求められる。 $sin 2 x = t^{2} - 1$ などを使って関数を $t$ の 2 次関数に直し、 $y = sin 2 x + sin x + cos x$ のような関数の最大値・最小値とそのときの $x$ を求められる

前提

三角関数の合成（数学II 三角関数）
$sin θ$ と $cos θ$ の対称式（数学I 図形と計量）
定義域つきの2次関数の最大・最小（数学I 2次関数）
三角関数の基本的な方程式・不等式（数学II 三角関数）

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算数中学高校大学大学院

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三角関数の基本的な方程式・不等式（数学II 三角関数）

説明

$sin x$ と $cos x$ がまざった関数でも、 $t = sin x$ や $t = sin x + cos x$ とおくと、 $t$ の 2 次関数に直せることがあります。そうすれば、すでに身につけている「定義域つきの 2 次関数の最大・最小」がそのまま使えます。 $y = sin 2 x + sin x + cos x$ や $y = cos 2 x + 2 sin x$ のような関数の最大値・最小値と、そのときの $x$ を求める場面で使います。

なぜそうしてよいのか

$y$ が $x$ の式であっても、 $x$ が $t$ を通してしか $y$ に関わっていなければ、 $y$ は $t$ だけの式です。たとえば $t = sin x + cos x$ とおくと、両辺を 2 乗して $t^{2} = sin^{2} x + 2 sin x cos x + cos^{2} x = 1 + 2 sin x cos x$ となるので、 $sin 2 x = 2 sin x cos x = t^{2} - 1$ です。よって $y = sin 2 x + sin x + cos x = t^{2} - 1 + t$ となり、 $t$ の 2 次関数になります。同じように $t = sin x$ なら、 $cos^{2} x = 1 - t^{2}$ 、 $cos 2 x = 1 - 2 t^{2}$ と書き直せます。

ただし、 $t$ は好きな実数をとれるわけではありません。 $x$ が決められた範囲を動くとき $t$ が実際にとる値の範囲こそが、2 次関数の定義域になります。 $t = sin x + cos x$ は合成すると $t = 2 sin (x + \frac{π}{4})$ です。 $x$ の範囲から $θ = x + \frac{π}{4}$ の範囲を求め、その範囲で $θ$ を動かしたときの $sin θ$ の値を単位円で読みとれば、 $t$ の範囲がわかります。 $θ$ がひと続きの区間を動くと、 $sin θ$ もその最小値から最大値までのすべての値を切れ目なくとります。

こうして求めた $t$ の範囲のどの値にも、それを実現する $x$ が少なくとも 1 つあります。また、範囲外の $t$ に対応する $x$ はありません。したがって「 $x$ を動かしたときの $y$ の最大・最小」は「 $t$ をその範囲で動かしたときの 2 次関数の最大・最小」とちょうど一致します。

手順

置き換える式を決める： $sin 2 x$ と $sin x + cos x$ があれば $t = sin x + cos x$ 、 $cos 2 x$ や $cos^{2} x$ と $sin x$ があれば $t = sin x$ とおく
$t$ のとりうる範囲を求める： $t = sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{4})$ と合成し、 $x + \frac{π}{4}$ の範囲で単位円を使って $sin$ の範囲を読みとる（ $t = sin x$ なら $x$ の範囲から直接読みとる）
$y$ を $t$ の式で表す： $sin 2 x = t^{2} - 1$ （ $t = sin x + cos x$ のとき）、 $cos 2 x = 1 - 2 t^{2}$ 、 $cos^{2} x = 1 - t^{2}$ （ $t = sin x$ のとき）などを使う
平方完成し、手順 2 の範囲を定義域として、頂点と定義域の両端での値を比べ、最大値・最小値とそのときの $t$ を求める
求めた $t$ の値から、 $sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{t}{2}$ などの方程式を $x$ の範囲で解き、そのときの $x$ を求める

例題

$0 ≦ x ≦ π$ のとき、関数 $y = sin 2 x + sin x + cos x$ の最大値と最小値を順に求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $sin 2 x$ と $sin x + cos x$ があるので、 $t = sin x + cos x$ とおく。

【手順 2】合成すると $t = 2 sin (x + \frac{π}{4})$ である。 $0 ≦ x ≦ π$ より $\frac{π}{4} ≦ x + \frac{π}{4} ≦ \frac{5 π}{4}$ となる。この範囲には $\frac{π}{2}$ が含まれるので、 $sin$ の最大値は $1$ である。最小値は右端 $\frac{5 π}{4}$ でとり、 $- \frac{2}{2}$ である。よって $- \frac{2}{2} ≦ sin (x + \frac{π}{4}) ≦ 1$ となり、 $2$ 倍して $- 1 ≦ t ≦ 2$ を得る。

【手順 3】 $t^{2} = 1 + 2 sin x cos x$ より $sin 2 x = t^{2} - 1$ である。したがって
$y = t^{2} - 1 + t = t^{2} + t - 1$

【手順 4】平方完成すると $y = (t + \frac{1}{2})^{2} - \frac{5}{4}$ となる。頂点の $t = - \frac{1}{2}$ は定義域 $- 1 ≦ t ≦ 2$ に含まれるので、最小値は $- \frac{5}{4}$ （ $t = - \frac{1}{2}$ のとき）である。両端の値は、 $t = - 1$ のとき $y = 1 - 1 - 1 = - 1$ 、 $t = 2$ のとき $y = 2 + 2 - 1 = 1 + 2$ となる。軸から遠いのは $t = 2$ の側なので、最大値は $1 + 2$ である。

【手順 5】 $t = 2$ となるのは $sin (x + \frac{π}{4}) = 1$ のときである。 $\frac{π}{4} ≦ x + \frac{π}{4} ≦ \frac{5 π}{4}$ より $x + \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$ 、すなわち $x = \frac{π}{4}$ である。 $t = - \frac{1}{2}$ となるのは $sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{2}{4}$ のときである。 $- \frac{2}{4}$ は $- \frac{2}{2}$ と $0$ の間にあるので、 $π < x + \frac{π}{4} < \frac{5 π}{4}$ の範囲にこれを満たす $x$ がただ 1 つある。

以上より、最大値は $1 + 2$ （ $x = \frac{π}{4}$ のとき）、最小値は $- \frac{5}{4}$ である。

答え: $(1 + 2, - \frac{5}{4})$

よくある誤り

$t$ の範囲を考えずに、頂点の値をそのまま最小値としてしまう誤り。たとえば $y = sin^{2} x - 3 sin x$ で $t = sin x$ とおくと $y = (t - \frac{3}{2})^{2} - \frac{9}{4}$ だが、最小値は $- \frac{9}{4}$ ではない。正しくは $- 1 ≦ t ≦ 1$ で考える。頂点 $t = \frac{3}{2}$ は範囲外なので、最小値は $t = 1$ のときの $y = 1 - 3 = - 2$ である。
$sin x$ と $cos x$ がそれぞれ $- 1$ 以上 $1$ 以下だからと、 $t = sin x + cos x$ の範囲を $- 2 ≦ t ≦ 2$ としてしまう誤り。 $sin x$ と $cos x$ が同時に $1$ になることはない。正しくは合成して $t = 2 sin (x + \frac{π}{4})$ とし、 $0 ≦ x < 2 π$ なら $- 2 ≦ t ≦ 2$ となる。
$x$ の範囲が制限されているとき、範囲の両端での値だけで $t$ の範囲を決めてしまう誤り。 $0 ≦ x ≦ π$ で $x = 0$ のとき $t = 1$ 、 $x = π$ のとき $t = - 1$ だからと $- 1 ≦ t ≦ 1$ とするのは誤りである。正しくは、 $x + \frac{π}{4}$ が $\frac{π}{2}$ を通るので、 $- 1 ≦ t ≦ 2$ となる。
$t^{2} = 1 + 2 sin x cos x$ から $sin 2 x$ を表すときに、 $sin 2 x = t^{2} + 1$ や $sin x cos x = t^{2} - 1$ としてしまう誤り。正しくは $sin x cos x = \frac{t ^{2} - 1}{2}$ 、 $sin 2 x = 2 sin x cos x = t^{2} - 1$ である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

三角方程式の解の個数（数学II 三角関数）