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三角関数の問題

難易度 3共通テストレベル数学II 三角関数

$θ$ は $0 ≦ θ < 2 π$ を満たす実数とする。不等式 $(2 sin θ + 1) (2 cos θ + 1) ≦ - 1$ を満たす $θ$ の値の範囲を求めよ。

この問題で使うもの

置き換えによる三角関数の最大・最小（説明と入口の問題）
三角関数の合成（説明と入口の問題）
三角関数の基本的な方程式・不等式（説明と入口の問題）
2 次不等式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（48 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

左辺を展開すると、 $sin θ cos θ$ と $sin θ + cos θ$ が現れます。 $t = sin θ + cos θ$ とおいて、 $t$ だけの不等式に直しましょう。

ヒント 2

$t^{2} = 1 + 2 sin θ cos θ$ を使います。また、 $t = 2 sin (θ + \frac{π}{4})$ と合成できます。

ヒント 3

代入して整理すると $t (t + 1) ≦ 0$ 、すなわち $- 1 ≦ t ≦ 0$ となります。あとは $φ = θ + \frac{π}{4}$ の範囲 $\frac{π}{4} ≦ φ < \frac{9}{4} π$ に注意して、 $- \frac{2}{2} ≦ sin φ ≦ 0$ を解きましょう。

答えと解説

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\frac{3}{4} π ≦ θ ≦ π, \frac{3}{2} π ≦ θ ≦ \frac{7}{4} π

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解説を読む

左辺を展開すると
$4 sin θ cos θ + 2 (sin θ + cos θ) + 1 ≦ - 1$
となる。

$t = sin θ + cos θ$ とおく。両辺を $2$ 乗すると $t^{2} = sin^{2} θ + 2 sin θ cos θ + cos^{2} θ = 1 + 2 sin θ cos θ$ なので
$4 sin θ cos θ = 2 t^{2} - 2$
である。これを代入すると
$2 t^{2} - 2 + 2 t + 1 ≦ - 1$
$2 t^{2} + 2 t ≦ 0$
$t (t + 1) ≦ 0$
よって $- 1 ≦ t ≦ 0$ である。

次に、三角関数の合成により
$t = sin θ + cos θ = 2 sin (θ + \frac{π}{4})$
である。 $φ = θ + \frac{π}{4}$ とおくと、 $0 ≦ θ < 2 π$ より $\frac{π}{4} ≦ φ < \frac{9}{4} π$ である。条件 $- 1 ≦ 2 sin φ ≦ 0$ は
$- \frac{2}{2} ≦ sin φ ≦ 0$
となる。

$\frac{π}{4} ≦ φ < \frac{9}{4} π$ の範囲で、 $sin φ ≦ 0$ となるのは $π ≦ φ ≦ 2 π$ のときである。このうち $sin φ < - \frac{2}{2}$ となるのは $\frac{5}{4} π < φ < \frac{7}{4} π$ のときなので、これを除くと
$π ≦ φ ≦ \frac{5}{4} π, \frac{7}{4} π ≦ φ ≦ 2 π$
となる。

$θ = φ - \frac{π}{4}$ に戻すと
$\frac{3}{4} π ≦ θ ≦ π, \frac{3}{2} π ≦ θ ≦ \frac{7}{4} π$
となる。

(確認) $θ = \frac{3}{4} π$ のとき、左辺は $(2 + 1) (1 - 2) = 1 - 2 = - 1$ となり、等号が成り立つ。 $θ = π$ のとき、左辺は $1 \cdot (- 1) = - 1$ となり、これも等号が成り立つ。また $θ = \frac{5}{4} π$ のとき、左辺は $(1 - 2)^{2} > 0$ となり、不等式を満たさない。これらは上の結果と合っている。

別解

$s = sin θ, c = cos θ$ とおく。与式を展開すると $4 sc + 2 (s + c) + 1 ≦ - 1$ 、すなわち $2 sc + (s + c) + 1 ≦ 0$ となる。

$t = s + c$ とおくと $sc = \frac{t ^{2} - 1}{2}$ なので、 $t^{2} - 1 + t + 1 ≦ 0$ 、すなわち $t (t + 1) ≦ 0$ より $- 1 ≦ t ≦ 0$ 。

$t = 2 sin (θ + \frac{π}{4})$ なので、 $- \frac{1}{2} ≦ sin (θ + \frac{π}{4}) ≦ 0$ 。

$φ = θ + \frac{π}{4}$ とおくと $\frac{π}{4} ≦ φ < \frac{9 π}{4}$ 。この範囲で $- \frac{2}{2} ≦ sin φ ≦ 0$ となるのは、 $π ≦ φ ≦ \frac{5 π}{4}$ または $\frac{7 π}{4} ≦ φ ≦ 2 π$ 。

$φ = θ + \frac{π}{4}$ に戻すと、 $\frac{3 π}{4} ≦ θ ≦ π$ または $\frac{3 π}{2} ≦ θ ≦ \frac{7 π}{4}$ 。

検算： $θ = π$ では $(1) (- 1) = - 1$ 、 $θ = \frac{3 π}{2}$ では $(- 1) (1) = - 1$ 、 $θ = \frac{3 π}{4}$ では $(2 + 1) (1 - 2) = - 1$ 、 $θ = \frac{7 π}{4}$ では $(1 - 2) (2 + 1) = - 1$ 。いずれも等号が成り立つ。

答え： $\frac{3 π}{4} ≦ θ ≦ π, \frac{3 π}{2} ≦ θ ≦ \frac{7 π}{4}$

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