三角関数の問題

まず不等式を $\cos x$ について解きます。
$$2\cos x+\sqrt{3}\leqq 0\text{より}\cos x\leqq -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

単位円で考えます。$\cos x$ は、角 $x$ の動径と単位円の交点の $x$ 座標です。

境目を求める

はじめに等号の場合 $\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ を解きます。単位円と直線 $x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ の交点は $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$ と $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right)$ の 2 つです。$0\leqq x<2\pi$ の範囲では、これらに対応する角は
$$x=\frac{5}{6}\pi ,\frac{7}{6}\pi$$
です。

不等式を満たす部分を読み取る

$\cos x\leqq -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となるのは、単位円上の点の $x$ 座標が $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 以下になるとき、つまり点が直線 $x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 上またはその左側にあるときです。

この部分は、角 $\frac{5}{6}\pi$ の点から反時計回りに $x=\pi$ の点 $(-1,0)$ を通って、角 $\frac{7}{6}\pi$ の点までの弧です。等号を含むので、境目の 2 つの角も解に含めます。

したがって、求める範囲は
$$\frac{5}{6}\pi \leqq x\leqq \frac{7}{6}\pi$$
です。

（参考：$y=\cos x$ のグラフで考えても、グラフが直線 $y=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 以下にあるのは、$x=\pi$ で最小値 $-1$ をとる付近の $\frac{5}{6}\pi \leqq x\leqq \frac{7}{6}\pi$ の部分だとわかります。）

$2\cos x+\sqrt{3}\leqq 0$ より $\cos x\leqq -\frac{\sqrt{3}}{2}$。単位円で、$\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $x$ は $0\leqq x<2\pi$ で $x=\frac{5\pi }{6},\frac{7\pi }{6}$。$\cos x$ がこれ以下になるのは、この2つの角にはさまれた範囲（$x$ 座標が $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 以下の部分）なので $\frac{5\pi }{6}\leqq x\leqq \frac{7\pi }{6}$。検算：$x=\pi$ で $2\cos \pi +\sqrt{3}=-2+\sqrt{3}<0$ で成り立つ。$x=\frac{\pi }{2}$ では $\sqrt{3}>0$ で不成立。端点 $x=\frac{5\pi }{6}$ では $2\cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})+\sqrt{3}=0$ で成立。