三角関数の問題

方針：$\cos x$ について解いて $\cos x<(\text{定数})$ の形にし、単位円で考えます。

手順1：$\cos x$ だけの不等式にする

$2\cos x+1<0$ より $2\cos x<-1$ となるので、
$$\cos x<-\frac{1}{2}$$

手順2：まず等号の場合（境目）を求める

単位円上の点 $(\cos x,\sin x)$ の $x$ 座標が $\cos x$ です。$0\leqq x<2\pi$ で $\cos x=-\frac{1}{2}$ となるのは、単位円と直線 $X=-\frac{1}{2}$ の 2 つの交点に対応する角で、
$$x=\frac{2}{3}\pi ,\frac{4}{3}\pi$$
です（$\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ なので、$x=\pi \mp \frac{\pi }{3}$ で $\cos x=-\frac{1}{2}$）。

手順3：不等号の向きに合う部分を読みとる

$\cos x<-\frac{1}{2}$ は「単位円上の点の $x$ 座標が $-\frac{1}{2}$ より小さい」ことを表します。それは直線 $X=-\frac{1}{2}$ より左側の弧で、角 $\frac{2}{3}\pi$ の点から角 $\frac{4}{3}\pi$ の点まで（両端は含まない）の部分です。

たとえば $x=\pi$ のとき $\cos \pi =-1<-\frac{1}{2}$ で成り立ち、$x=0$ のとき $\cos 0=1$ で成り立たないことからも確認できます。

よって、求める範囲は
$$\frac{2}{3}\pi <x<\frac{4}{3}\pi$$

$2\cos x+1<0$ より $\cos x<-\frac{1}{2}$。単位円で考えると、$\cos x=-\frac{1}{2}$ となるのは $0\leqq x<2\pi$ で $x=\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3}$。$\cos x$ が $-\frac{1}{2}$ より小さいのはこの 2 点の間なので、$\frac{2\pi }{3}<x<\frac{4\pi }{3}$。検算：$x=\pi$ のとき $2\cos \pi +1=-1<0$ で成り立つ。$x=\frac{\pi }{2}$ のとき $1>0$ で不適。$x=\frac{2\pi }{3}$ のとき $0$ で不等号は成り立たないので端は含まない。