三角関数の問題

手順1：置き換える

$t=\sin x+\cos x$ とおきます。

手順2：$t$ のとりうる範囲を求める

三角関数の合成により
$$t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$$
です。$0\leqq x<2\pi$ のとき $\frac{\pi }{4}\leqq x+\frac{\pi }{4}<\frac{9}{4}\pi$ です。この範囲は長さ $2\pi$ の区間なので、$\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ は $-1$ 以上 $1$ 以下のすべての値をとります。よって
$$-\sqrt{2}\leqq t\leqq \sqrt{2}$$
です。

手順3：$y$ を $t$ の式に直す

$t^2=(\sin x+\cos x{)}^2={\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=1+2\sin x\cos x$ です。したがって
$$\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$$
となります。これを代入すると
$$y=\frac{t^2-1}{2}+t=\frac{1}{2}{t}^2+t-\frac{1}{2}$$
です。

手順4：定義域つきの2次関数の最大値を求める

平方完成すると
$$y=\frac{1}{2}(t^2+2t)-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(t+1{)}^2-1$$
です。グラフは下に凸で、軸は $t=-1$ です。定義域 $-\sqrt{2}\leqq t\leqq \sqrt{2}$ の両端のうち、軸から遠いのは $t=\sqrt{2}$ です。よって $y$ は $t=\sqrt{2}$ で最大になり、最大値は
$$\frac{1}{2}(\sqrt{2}+1{)}^2-1=\frac{1}{2}(3+2\sqrt{2})-1=\frac{1}{2}+\sqrt{2}$$
です。

手順5：そのときの $x$ を確かめる

$t=\sqrt{2}$ となるのは $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=1$ のときです。$x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$ より $x=\frac{\pi }{4}$ で、これは $0\leqq x<2\pi$ を満たします。

以上より、最大値は $\frac{1}{2}+\sqrt{2}$ です。

$t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ とおくと、$-\sqrt{2}\leqq t\leqq \sqrt{2}$ である。$t^2=1+2\sin x\cos x$ より $\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$。よって $y=\frac{t^2-1}{2}+t=\frac{1}{2}(t+1{)}^2-1$。この関数は $t\geqq -1$ で増加するので、$t=\sqrt{2}$ のとき最大となる。最大値は $\frac{(\sqrt{2}+1{)}^2}{2}-1=\frac{3+2\sqrt{2}}{2}-1=\frac{1+2\sqrt{2}}{2}$。$t=-\sqrt{2}$ のときは $\frac{(1-\sqrt{2}{)}^2}{2}-1=\frac{3-2\sqrt{2}}{2}-1=\frac{1-2\sqrt{2}}{2}$ で小さい。検算：$x=\pi /4$ のとき $y=\frac{1}{2}+\sqrt{2}$ で $\frac{1+2\sqrt{2}}{2}$ と一致する。$x=\pi /4$ は範囲内である。