三角関数の問題

手順1：次数を下げる

半角の公式と 2 倍角の公式から
$${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2},\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2},{\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$$
である。これらを代入すると
$$f(x)=3\cdot \frac{1-\cos 2x}{2}-2\sqrt{3}\cdot \frac{\sin 2x}{2}+\frac{1+\cos 2x}{2}$$
$$=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}\cos 2x-\sqrt{3}\sin 2x+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2x$$
$$=2-\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x$$
となる。

手順2：合成する

$\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x$ を合成する。$r=\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+1^2}=2$ であり、$\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \alpha =\frac{1}{2}$ を満たす $\alpha$ として $\alpha =\frac{\pi }{6}$ がとれるから
$$\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$$
である。よって
$$f(x)=2-2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$$

手順3：角の範囲を求めて最大値を調べる

$0\leqq x\leqq \frac{\pi }{2}$ より $0\leqq 2x\leqq \pi$ なので
$$\frac{\pi }{6}\leqq 2x+\frac{\pi }{6}\leqq \frac{7\pi }{6}$$
この範囲で $\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$ のとりうる値の範囲は
$$-\frac{1}{2}\leqq \sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)\leqq 1$$
である。$f(x)$ は $\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$ が最小のとき最大になる。$\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$ となるのは $2x+\frac{\pi }{6}=\frac{7\pi }{6}$、すなわち $x=\frac{\pi }{2}$ のときで、このとき
$$f\left(\frac{\pi }{2}\right)=2-2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=3$$
（確認：$x=\frac{\pi }{2}$ を元の式に代入すると $3\cdot 1^2-0+0=3$ となり一致する。）

したがって、最大値は $3$ である。

倍角の公式で式を変形する。${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$、${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$、$\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}$ より
$f(x)=\frac{3(1-\cos 2x)}{2}-\sqrt{3}\sin 2x+\frac{1+\cos 2x}{2}=2-\cos 2x-\sqrt{3}\sin 2x$。
三角関数の合成により $\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$ なので
$f(x)=2-2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$。
$0\leqq x\leqq \frac{\pi }{2}$ のとき $\frac{\pi }{6}\leqq 2x+\frac{\pi }{6}\leqq \frac{7\pi }{6}$。この範囲で $\sin$ の最小値は $2x+\frac{\pi }{6}=\frac{7\pi }{6}$、すなわち $x=\frac{\pi }{2}$ のときの $-\frac{1}{2}$。
よって最大値は $2-2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=3$。
検算：$x=\frac{\pi }{2}$ のとき $f=3\cdot 1-0+0=3$。$x=0$ のとき $f=1$。$\sin$ の範囲は $-\frac{1}{2}$ から $1$ なので、最小値は $2-2=0$ であり、最大値 3 と整合する。