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三角関数の問題

難易度 3共通テストレベル数学II 三角関数

$a$ を正の実数の定数とする。関数 $f (x) = 2 sin x cos x - 23 cos^{2} x + 3$ について、 $0 ≦ x ≦ a$ における $f (x)$ の最大値が $2$ 、最小値が $- 3$ となるような $a$ の値の範囲を求めよ。

この問題で使うもの

$sin^{2} x$ , $sin x cos x$ , $cos^{2} x$ の式の変形（説明と入口の問題）
三角関数のグラフの拡大と平行移動（説明と入口の問題）
三角関数の基本的な方程式・不等式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（46 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$f (x)$ を 2 倍角の公式で $sin 2 x$ , $cos 2 x$ の式に直し、合成して $r sin (2 x + α)$ の形にしてみよう。

ヒント 2

$f (x) = 2 sin (2 x - \frac{π}{3})$ となる。 $t = 2 x - \frac{π}{3}$ とおくと、 $t$ は $- \frac{π}{3}$ から $2 a - \frac{π}{3}$ まで動く。

ヒント 3

$x = 0$ で $f (0) = - 3$ である。最大値 $2$ には $t = \frac{π}{2}$ を含むこと、最小値 $- 3$ には $sin t < - \frac{3}{2}$ となる部分（ $t > \frac{4}{3} π$ ）を含まないことが必要である。

答えと解説

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\frac{5}{12} π ≦ a ≦ \frac{5}{6} π

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解説を読む

まず $f (x)$ を 1 つの三角関数で表す。2 倍角の公式 $2 sin x cos x = sin 2 x$ 、 $cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}$ より
$f (x) = sin 2 x - 3 (1 + cos 2 x) + 3 = sin 2 x - 3 cos 2 x .$
三角関数の合成により
$f (x) = 2 (\frac{1}{2} sin 2 x - \frac{3}{2} cos 2 x) = 2 sin (2 x - \frac{π}{3}) .$

$t = 2 x - \frac{π}{3}$ とおく。 $0 ≦ x ≦ a$ のとき、 $t$ の範囲は
$- \frac{π}{3} ≦ t ≦ 2 a - \frac{π}{3}$
であり、 $f (x) = 2 sin t$ である。 $t = - \frac{π}{3}$ （ $x = 0$ ）のとき $2 sin t = - 3$ となる。

最大値が $2$ となる条件： $sin t = 1$ となる $t$ が範囲に含まれればよい。 $t ≧ - \frac{π}{3}$ で $sin t = 1$ となる最小の $t$ は $\frac{π}{2}$ なので
$2 a - \frac{π}{3} ≧ \frac{π}{2} ⟺ a ≧ \frac{5}{12} π .$

最小値が $- 3$ となる条件： $x = 0$ で値 $- 3$ をとるので、範囲内で常に $sin t ≧ - \frac{3}{2}$ であればよい。単位円（または $y = sin t$ のグラフ）を考えると、 $t ≧ - \frac{π}{3}$ において $sin t ≧ - \frac{3}{2}$ が成り立つのは $- \frac{π}{3} ≦ t ≦ \frac{4}{3} π$ の間であり、 $t$ が $\frac{4}{3} π$ をこえると $sin t < - \frac{3}{2}$ となる。よって
$2 a - \frac{π}{3} ≦ \frac{4}{3} π ⟺ a ≦ \frac{5}{6} π .$

以上をともに満たす $a$ の範囲は
$\frac{5}{12} π ≦ a ≦ \frac{5}{6} π .$

別解

倍角の公式より $f (x) = sin 2 x - 3 (1 + cos 2 x) + 3 = sin 2 x - 3 cos 2 x = 2 sin (2 x - \frac{π}{3})$ 。
$t = 2 x - \frac{π}{3}$ とおくと、 $0 ≦ x ≦ a$ のとき $- \frac{π}{3} ≦ t ≦ 2 a - \frac{π}{3}$ 。 $f = 2 sin t$ である。

最大値が 2 になるには、 $sin t = 1$ となる $t$ が範囲に含まれればよい。 $t = - \frac{π}{3}$ から増加していくとき最初に $sin t = 1$ となるのは $t = \frac{π}{2}$ なので、 $2 a - \frac{π}{3} ≧ \frac{π}{2}$ 、すなわち $a ≧ \frac{5 π}{12}$ 。

最小値が $- 3$ になるには、 $sin t ≧ - \frac{3}{2}$ がすべての $t$ について成り立てばよい（ $t = - \frac{π}{3}$ で等号が成り立つので最小値 $- 3$ は達成される）。 $t$ が $- \frac{π}{3}$ から増加するとき、 $sin t ≧ - \frac{3}{2}$ が保たれるのは $t ≦ \frac{4 π}{3}$ まで。したがって $2 a - \frac{π}{3} ≦ \frac{4 π}{3}$ 、すなわち $a ≦ \frac{5 π}{6}$ 。

以上より $\frac{5 π}{12} ≦ a ≦ \frac{5 π}{6}$ 。

検算： $a = \frac{5 π}{6}$ のとき $f (a) = 2 sin \frac{4 π}{3} = - 3$ で、最小値は $- 3$ のまま。 $a = \frac{5 π}{12}$ のとき $f (a) = 2 sin \frac{π}{2} = 2$ で、最大値は 2。

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