三角関数の問題

手順 1：次数を下げる

次の 3 つの式を使います。
$${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2},\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2},{\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$$

これらを $f(x)$ に代入すると
$$f(x)=\frac{1-\cos 2x}{2}+2\sqrt{3}\cdot \frac{\sin 2x}{2}+3\cdot \frac{1+\cos 2x}{2}$$
$$=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2x+\sqrt{3}\sin 2x+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\cos 2x$$
$$=\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x+2$$
となります。

手順 2：合成する

$\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+1^2}=2$ です。また $\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \alpha =\frac{1}{2}$ を満たす $\alpha$ として $\alpha =\frac{\pi }{6}$ がとれます。よって
$$\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$$
となり、
$$f(x)=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)+2$$
です。

手順 3：角のとりうる範囲を求める

$0\leqq x\leqq \frac{\pi }{2}$ より、$0\leqq 2x\leqq \pi$ です。よって
$$\frac{\pi }{6}\leqq 2x+\frac{\pi }{6}\leqq \frac{7\pi }{6}$$
となります。

手順 4：最小値を求める

この範囲で $\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$ が最小になるのは、$2x+\frac{\pi }{6}=\frac{7\pi }{6}$ のときです。このとき $x=\frac{\pi }{2}$ で、値は $-\frac{1}{2}$ です。

したがって最小値は
$$2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)+2=1$$
です。

（確認：$x=\frac{\pi }{2}$ のとき $\sin x=1$, $\cos x=0$ なので、もとの式に代入しても $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=1$ となり、一致します。）

答え：$1$

$f(x)={\sin }^{2}x+3{\cos }^{2}x+2\sqrt{3}\sin x\cos x$ を倍角の公式で変形する。
${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$, ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$, $2\sin x\cos x=\sin 2x$ より
$f(x)=\frac{1-\cos 2x}{2}+\frac{3+3\cos 2x}{2}+\sqrt{3}\sin 2x=2+\cos 2x+\sqrt{3}\sin 2x$。
合成して $f(x)=2+2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$。
$0\leqq x\leqq \frac{\pi }{2}$ のとき $\frac{\pi }{6}\leqq 2x+\frac{\pi }{6}\leqq \frac{7\pi }{6}$。
この範囲で $\sin$ の最小値は $2x+\frac{\pi }{6}=\frac{7\pi }{6}$ のとき $-\frac{1}{2}$。
よって最小値は $2+2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=1$。
検算：$x=\frac{\pi }{2}$ のとき $f=1+0+0=1$。$x=0$ のとき $f=3$。一致する。