三角関数の問題

手順 1：置き換える文字 $t$ を決める

$t=\sin x+\cos x$ とおく。三角関数の合成により
$$t=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$$
である。

手順 2：$t$ のとりうる範囲を求める

$0\leqq x<2\pi$ より
$$\frac{\pi }{4}\leqq x+\frac{\pi }{4}<\frac{9}{4}\pi$$
である。この範囲で $x+\frac{\pi }{4}$ は角を 1 周分動くので、$-1\leqq \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\leqq 1$ となる。よって
$$-\sqrt{2}\leqq t\leqq \sqrt{2}$$
である。

手順 3：$y$ を $t$ の式に直す

$t^2=(\sin x+\cos x{)}^2={\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=1+2\sin x\cos x$ より
$$\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$$
である。したがって
$$y=\frac{t^2-1}{2}+t=\frac{1}{2}{t}^2+t-\frac{1}{2}$$
となる。平方完成すると
$$y=\frac{1}{2}(t^2+2t)-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(t+1{)}^2-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(t+1{)}^2-1$$
である。

手順 4：定義域つきの 2 次関数の最大値を求める

$-\sqrt{2}\leqq t\leqq \sqrt{2}$ において、グラフは下に凸で軸は $t=-1$ である。軸から遠い端は $t=\sqrt{2}$ なので、$t=\sqrt{2}$ のとき最大となる。最大値は
$$\frac{1}{2}(\sqrt{2}+1{)}^2-1=\frac{1}{2}(3+2\sqrt{2})-1=\frac{1}{2}+\sqrt{2}$$
である。

手順 5：そのときの $x$ を確認する

$t=\sqrt{2}$ のとき $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=1$ である。$\frac{\pi }{4}\leqq x+\frac{\pi }{4}<\frac{9}{4}\pi$ の範囲では $x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$ であり、$x=\frac{\pi }{4}$ となる。これは $0\leqq x<2\pi$ を満たす。

（確認：$x=\frac{\pi }{4}$ のとき $\sin x\cos x=\frac{1}{2}$、$\sin x+\cos x=\sqrt{2}$ であり、$y=\frac{1}{2}+\sqrt{2}$ となる。）

よって、最大値は $\frac{1}{2}+\sqrt{2}$ である。

$t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ とおく。$x$ が $0\leqq x<2\pi$ を動くと $x+\frac{\pi }{4}$ は $\frac{\pi }{4}\leqq x+\frac{\pi }{4}<\frac{9\pi }{4}$ の範囲を動き、この範囲で正弦は $-1$ から $1$ までのすべての値をとるので、$-\sqrt{2}\leqq t\leqq \sqrt{2}$ である。

$t^2=1+2\sin x\cos x$ より $\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$。よって
$$y=\frac{t^2-1}{2}+t=\frac{1}{2}(t+1{)}^2-1.$$

これは $t\geqq -1$ で増加するので、$-\sqrt{2}\leqq t\leqq \sqrt{2}$ では $t=\sqrt{2}$ のとき最大となる。

最大値は $\frac{1}{2}(\sqrt{2}+1{)}^2-1=\frac{3+2\sqrt{2}}{2}-1=\frac{1+2\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}+\sqrt{2}$。

検算：$t=\sqrt{2}$ のとき $x=\frac{\pi }{4}$ で、$\sin x\cos x=\frac{1}{2}$、$\sin x+\cos x=\sqrt{2}$ なので $y=\frac{1}{2}+\sqrt{2}$ となり一致する。