三角関数の問題

手順 1：置き換える

$t=\sin x+\cos x$ とおきます。

手順 2：$t$ のとりうる範囲を求める

三角関数の合成により
$$t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$$
です。$0\leqq x<2\pi$ より $\frac{\pi }{4}\leqq x+\frac{\pi }{4}<\frac{9}{4}\pi$ です。この範囲は長さ $2\pi$（1 周分）なので、$\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ は $-1$ 以上 $1$ 以下のすべての値をとります。よって
$$-\sqrt{2}\leqq t\leqq \sqrt{2}$$
です。

手順 3：$\sin 2x$ を $t$ で表す

$t^2=(\sin x+\cos x{)}^2={\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=1+\sin 2x$ より
$$\sin 2x=t^2-1$$
です。

手順 4：$y$ を $t$ の 2 次関数で表す

$$y=(t^2-1)+2t=t^2+2t-1=(t+1{)}^2-2$$

手順 5：定義域つきの 2 次関数の最大値を求める

$y=(t+1{)}^2-2$ $\left(-\sqrt{2}\leqq t\leqq \sqrt{2}\right)$ のグラフは下に凸で、軸は $t=-1$ です。軸から最も遠い端は $t=\sqrt{2}$ です（$\sqrt{2}-(-1)=\sqrt{2}+1$ は $-1-(-\sqrt{2})=\sqrt{2}-1$ より大きい）。よって $t=\sqrt{2}$ で最大となり、最大値は
$$(\sqrt{2}{)}^2+2\sqrt{2}-1=1+2\sqrt{2}$$
です。

このときの $x$ は、$\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}$ から $x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$、すなわち $x=\frac{\pi }{4}$ です。確かめると、$x=\frac{\pi }{4}$ のとき $\sin 2x=1$、$\sin x+\cos x=\sqrt{2}$ より $y=1+2\sqrt{2}$ となります。

答え：最大値 $1+2\sqrt{2}$

$t=\sin x+\cos x$ とおく。$t=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ であり、$0\leqq x<2\pi$ のとき $\frac{\pi }{4}\leqq x+\frac{\pi }{4}<\frac{9\pi }{4}$ だから、$-\sqrt{2}\leqq t\leqq \sqrt{2}$ である。

$t^2=1+2\sin x\cos x=1+\sin 2x$ より $\sin 2x=t^2-1$。
よって $y=t^2-1+2t=(t+1{)}^2-2$。

この放物線は $t=-1$ で最小となり、$-\sqrt{2}\leqq t\leqq \sqrt{2}$ では軸から遠い端 $t=\sqrt{2}$ で最大となる。
$t=\sqrt{2}$ のとき $y=(\sqrt{2}+1{)}^2-2=1+2\sqrt{2}$。

$t=-\sqrt{2}$ のとき $y=(1-\sqrt{2}{)}^2-2=1-2\sqrt{2}$ で、これより大きい。

$t=\sqrt{2}$ となるのは $x=\frac{\pi }{4}$ のときで、範囲内にある。
検算：$x=\frac{\pi }{4}$ のとき $y=\sin \frac{\pi }{2}+2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=1+2\sqrt{2}$ となり、一致する。

最大値は $1+2\sqrt{2}$。