三角関数の問題

${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$ を用いて $\cos x$ だけの式に直すと
$$y=2(1-{\cos }^{2}x)+2\cos x-1=-2{\cos }^{2}x+2\cos x+1$$
となる。$t=\cos x$ とおく。

$0\leqq x\leqq \frac{2}{3}\pi$ の範囲で $\cos x$ は減少し、$\cos 0=1$、$\cos \frac{2}{3}\pi =-\frac{1}{2}$ であるから、$t$ のとりうる値の範囲は
$$-\frac{1}{2}\leqq t\leqq 1$$
である。

$y$ を $t$ の式として平方完成すると
$$y=-2t^2+2t+1=-2\left(t^2-t\right)+1=-2{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{2}+1=-2{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{2}$$
となる。これは上に凸の放物線で、軸は $t=\frac{1}{2}$ である。

区間 $-\frac{1}{2}\leqq t\leqq 1$ の両端のうち、軸 $t=\frac{1}{2}$ から遠いのは $t=-\frac{1}{2}$（軸からの距離 $1$）であり、$t=1$（軸からの距離 $\frac{1}{2}$）より遠い。上に凸の放物線では軸から遠いほど値が小さいので、最小値は $t=-\frac{1}{2}$ のときにとる。実際に計算すると
$$t=-\frac{1}{2}\text{のとき}y=-2\cdot \frac{1}{4}+2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)+1=-\frac{1}{2}-1+1=-\frac{1}{2}$$
$$t=1\text{のとき}y=-2+2+1=1$$
である。

$t=-\frac{1}{2}$ となるのは $x=\frac{2}{3}\pi$ のときである。

よって、最小値は $-\frac{1}{2}$ である。

${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$ より $y=2(1-{\cos }^{2}x)+2\cos x-1=-2{\cos }^{2}x+2\cos x+1$。$t=\cos x$ とおくと、$0\leqq x\leqq \frac{2}{3}\pi$ で $-\frac{1}{2}\leqq t\leqq 1$。

$y=-2t^2+2t+1=-2{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{2}$。上に凸の放物線で軸は $t=\frac{1}{2}$。区間 $-\frac{1}{2}\leqq t\leqq 1$ で軸から遠い端は $t=-\frac{1}{2}$(距離1)、$t=1$(距離$\frac{1}{2}$)。よって最小は $t=-\frac{1}{2}$ のとき。

$y=-2\cdot \frac{1}{4}-1+1=-\frac{1}{2}$。このとき $x=\frac{2}{3}\pi$。

検算: $x=\frac{2}{3}\pi$ で ${\sin }^{2}x=\frac{3}{4}$, $\cos x=-\frac{1}{2}$ より $y=\frac{3}{2}-1-1=-\frac{1}{2}$。$x=0$ では $y=1$、$x=\frac{\pi }{3}$ では $y=\frac{3}{2}$ で、確かに $-\frac{1}{2}$ が最小。