三角関数の問題

$t=\tan \frac{x}{2}$ とおく。$0<x<\pi$ より $0<\frac{x}{2}<\frac{\pi }{2}$ なので、$t>0$ であり、$t$ はすべての正の実数をとる。

2 倍角の公式より
$$\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=2\tan \frac{x}{2}{\cos }^2\frac{x}{2}=\frac{2t}{1+t^2}$$
$$\cos x={\cos }^2\frac{x}{2}-{\sin }^2\frac{x}{2}={\cos }^2\frac{x}{2}\left(1-{\tan }^2\frac{x}{2}\right)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$$
（ここで ${\cos }^2\frac{x}{2}=\frac{1}{1+{\tan }^2\frac{x}{2}}=\frac{1}{1+t^2}$ を用いた。）

よって
$$2-\cos x=\frac{2(1+t^2)-(1-t^2)}{1+t^2}=\frac{1+3t^2}{1+t^2}$$
であるから
$$f(x)=\frac{1+3t^2}{1+t^2}\cdot \frac{1+t^2}{2t}=\frac{1+3t^2}{2t}=\frac{1}{2t}+\frac{3t}{2}$$

$t>0$ より $\frac{1}{2t}>0$, $\frac{3t}{2}>0$ なので、相加平均と相乗平均の大小関係から
$$\frac{1}{2t}+\frac{3t}{2}\geqq 2\sqrt{\frac{1}{2t}\cdot \frac{3t}{2}}=2\sqrt{\frac{3}{4}}=\sqrt{3}$$
等号は $\frac{1}{2t}=\frac{3t}{2}$、すなわち $t^2=\frac{1}{3}$, $t=\frac{1}{\sqrt{3}}$ のときに成り立つ。このとき $\frac{x}{2}=\frac{\pi }{6}$、つまり $x=\frac{\pi }{3}$ であり、$0<x<\pi$ を満たす。

確認: $f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{2-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$。

（別解）$f(x)=k$ とおくと $k\sin x+\cos x=2$。左辺を合成すると $\sqrt{k^2+1}\sin (x+\alpha )$ なので、解をもつためには $\sqrt{k^2+1}\geqq 2$ が必要であり、$k>0$ と合わせて $k\geqq \sqrt{3}$ となる。

よって最小値は $\sqrt{3}$ である。

$f^{\prime }(x)=\frac{\sin x\cdot \sin x-(2-\cos x)\cos x}{{\sin }^{2}x}=\frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x-2\cos x}{{\sin }^{2}x}=\frac{1-2\cos x}{{\sin }^{2}x}$。$0<x<\pi$ で $f^{\prime }(x)=0$ となるのは $\cos x=\frac{1}{2}$、すなわち $x=\frac{\pi }{3}$。$0<x<\frac{\pi }{3}$ では $\cos x>\frac{1}{2}$ で $f^{\prime }<0$、$\frac{\pi }{3}<x<\pi$ では $f^{\prime }>0$。よって $x=\frac{\pi }{3}$ で最小。最小値は $f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{2-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$。検算: $x=\frac{\pi }{2}$ で $f=2>\sqrt{3}\approx 1.732$、$x=\frac{2\pi }{3}$ で $f=\frac{2.5}{0.866}\approx 2.89>\sqrt{3}$。