三角関数の問題

端点の値は $f(0)=1$, $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=a$ である。

$r=\sqrt{a^2+1}$ とし、$\cos \alpha =\frac{a}{r}$, $\sin \alpha =\frac{1}{r}$ $(0<\alpha <\pi )$ を満たす $\alpha$ をとると、合成により
$$f(x)=r\sin (x+\alpha )$$
となる。$x+\alpha$ は $\alpha \leqq x+\alpha \leqq \alpha +\frac{\pi }{2}$ を動く。

(i) $a>0$ のとき

$0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ であり、$\alpha <\frac{\pi }{2}<\alpha +\frac{\pi }{2}$ なので、$x+\alpha =\frac{\pi }{2}$ となる $x$ が範囲内にあり、最大値は $r=\sqrt{a^2+1}$。
また $\sin (x+\alpha )$ はこの区間で $\frac{\pi }{2}$ まで増加しその後減少するので、最小値は両端の値の小さい方、すなわち $1$ と $a$ の小さい方である。

• $a\geqq 1$ のとき、最小値は $1$。条件は $\sqrt{a^2+1}=2$ より $a^2=3$、$a\geqq 1$ より $a=\sqrt{3}$。
• $0<a<1$ のとき、最小値は $a$。条件は $\sqrt{a^2+1}=2a$ より $a^2+1=4a^2$、$a^2=\frac{1}{3}$、$0<a<1$ より $a=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

(ii) $a=0$ のとき

$f(x)=\cos x$ で、最大値 $1$、最小値 $0$ となり、条件を満たさない。

(iii) $a<0$ のとき

$\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ なので、$\frac{\pi }{2}<x+\alpha <\frac{3}{2}\pi$ の範囲で $\sin (x+\alpha )$ は減少する。よって最大値は $f(0)=1$、最小値は $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=a<0$ である。最大値 $1$ は正、最小値の $2$ 倍 $2a$ は負なので、条件を満たさない。

以上より、求める $a$ の値は
$$a=\frac{\sqrt{3}}{3},\sqrt{3}$$

確認: $a=\sqrt{3}$ のとき $f(x)=2\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ で最大値 $2$、最小値 $1$。$a=\frac{\sqrt{3}}{3}$ のとき最大値 $\frac{2}{\sqrt{3}}$、最小値 $\frac{1}{\sqrt{3}}$。いずれも最大値は最小値の $2$ 倍である。

$f(0)=1$、$f(\frac{\pi }{2})=a$。場合分けする。(i) $a<0$: $f^{\prime }(x)=a\cos x-\sin x<0$ ($0\leqq x\leqq \frac{\pi }{2}$ で、$x=0$ のとき $a<0$、他では $-\sin x<0$ かつ $a\cos x\leqq 0$) より単調減少。最大値 $f(0)=1$、最小値 $f(\frac{\pi }{2})=a$。$1=2a$ より $a=\frac{1}{2}$ だが $a<0$ に反し不適。(ii) $a=0$: $f=\cos x$ で最大 1、最小 0。$1=0$ は不成立で不適。(iii) $a>0$: $f(x)=\sqrt{a^2+1}\sin (x+\alpha )$ ($\tan \alpha =\frac{1}{a}$ すなわち $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$) と書け、$x=\frac{\pi }{2}-\alpha \in (0,\frac{\pi }{2})$ で最大値 $\sqrt{a^2+1}$ をとる。また $x+\alpha$ は $\alpha$ から $\frac{\pi }{2}+\alpha$ まで動き、この範囲で $\sin$ は凹なので最小値は端点の値で、$\min (f(0),f(\frac{\pi }{2}))=\min (1,a)$。
- $a\geqq 1$: 最小値 1。$\sqrt{a^2+1}=2$ より $a=\sqrt{3}$ ($\geqq 1$ を満たす)。
- $0<a<1$: 最小値 $a$。$\sqrt{a^2+1}=2a$ より $a^2+1=4a^2$、$a^2=\frac{1}{3}$、$a=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ($0<a<1$ を満たす)。
検算: $a=\sqrt{3}$ のとき最大 $\sqrt{4}=2$、最小 $\min (1,\sqrt{3})=1$ で 2 倍。$a=\frac{1}{\sqrt{3}}$ のとき最大 $\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$、最小 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ で 2 倍。よって $a=\frac{\sqrt{3}}{3},\sqrt{3}$。