三角関数の問題

$t=\sin x$ とおく。$0\leqq x\leqq \frac{7}{6}\pi$ のとき、$\sin x$ は $x=0$ で $0$、$x=\frac{\pi }{2}$ で最大値 $1$、$x=\pi$ で $0$、$x=\frac{7}{6}\pi$ で $-\frac{1}{2}$ をとり、この範囲では $\frac{7}{6}\pi$ のときが最小である。よって $t$ のとりうる値の範囲は
$$-\frac{1}{2}\leqq t\leqq 1$$
である。

2倍角の公式 $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$ より
$$f(x)=1-2t^2+4at=-2t^2+4at+1.$$
これを $g(t)$ とおくと
$$g(t)=-2(t-a{)}^2+2a^2+1$$
となる。グラフは上に凸の放物線で、軸は $t=a$ である。$-\frac{1}{2}\leqq t\leqq 1$ における $g(t)$ の最大値を $M$ とし、軸の位置で場合分けする。

$(1)$ $-\frac{1}{2}\leqq a\leqq 1$ のとき、軸が区間内にあるので $M=g(a)=2a^2+1$ である。$2a^2+1=3$ より $a^2=1$、すなわち $a=\pm 1$ である。$-\frac{1}{2}\leqq a\leqq 1$ を満たすのは $a=1$ だけである。

$(2)$ $a>1$ のとき、区間で $g(t)$ は増加するので $M=g(1)=-2+4a+1=4a-1$ である。$4a-1=3$ より $a=1$ となるが、$a>1$ に反するので不適である。

$(3)$ $a<-\frac{1}{2}$ のとき、区間で $g(t)$ は減少するので
$$M=g\left(-\frac{1}{2}\right)=-2\cdot \frac{1}{4}-2a+1=\frac{1}{2}-2a$$
である。$\frac{1}{2}-2a=3$ より $a=-\frac{5}{4}$ となり、これは $a<-\frac{1}{2}$ を満たす。

(確認) $a=1$ のとき $g(t)=-2(t-1{)}^2+3$ で、$t=1$ すなわち $x=\frac{\pi }{2}$ のとき最大値 $3$ をとる。$a=-\frac{5}{4}$ のとき $g(t)=-2t^2-5t+1$ で、$t=-\frac{1}{2}$ すなわち $x=\frac{7}{6}\pi$ のとき最大値 $-\frac{1}{2}+\frac{5}{2}+1=3$ をとる。

以上より、求める $a$ の値は $a=-\frac{5}{4},1$ である。

$s=\sin x$ とおく。$0\leqq x\leqq \frac{7}{6}\pi$ では $s$ は $0$ から $1$ まで増え、その後 $-\frac{1}{2}$ まで減るので、$-\frac{1}{2}\leqq s\leqq 1$ である。
$\cos 2x=1-2s^2$ より
$g(s)=-2s^2+4as+1=-2(s-a{)}^2+2a^2+1$ $\left(-\frac{1}{2}\leqq s\leqq 1\right)$ となる。この最大値が $3$ になる $a$ を求める。

(i) $-\frac{1}{2}\leqq a\leqq 1$ のとき、最大値は $g(a)=2a^2+1$。これが $3$ になるのは $a^2=1$ のときで、この範囲では $a=1$。

(ii) $a>1$ のとき、最大値は $g(1)=4a-1$。これが $3$ になるのは $a=1$ のときで、$a>1$ に反するので不適。

(iii) $a<-\frac{1}{2}$ のとき、最大値は $g(-\frac{1}{2})=\frac{1}{2}-2a$。これが $3$ になるのは $a=-\frac{5}{4}$ のときで、$a<-\frac{1}{2}$ を満たす。

検算：$a=1$ では $g(1)=-2+4+1=3$。$a=-\frac{5}{4}$ では $g(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{2}+2.5+1=3$ で、頂点 $s=-\frac{5}{4}$ は区間の外にあり、区間内では $g$ は減少するので左端が最大である。

よって $a=1,-\frac{5}{4}$。