三角関数の問題

手順 1：次数を下げる

2 倍角の公式から得られる次の 3 つの式を使います。
$${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2},\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2},{\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$$

これらを $f(x)$ に代入すると
$$f(x)=\frac{1-\cos 2x}{2}+2\sqrt{3}\cdot \frac{\sin 2x}{2}+3\cdot \frac{1+\cos 2x}{2}$$
$$=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2x+\sqrt{3}\sin 2x+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\cos 2x$$
$$=\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x+2$$
となり、$2x$ の 1 次の三角関数だけで表せます。

手順 2：合成する

$\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x$ について、$r=\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+1^2}=2$ です。$\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \alpha =\frac{1}{2}$ を満たす角は $\alpha =\frac{\pi }{6}$ なので
$$f(x)=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)+2$$
となります。

手順 3：最大値を求める

$x$ はすべての実数をとるので、$-1\leqq \sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)\leqq 1$ です。よって $f(x)\leqq 2\cdot 1+2=4$ です。

等号は $2x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$、すなわち $x=\frac{\pi }{6}$ のときに成り立ちます。

確認

$x=\frac{\pi }{6}$ を元の式に代入すると
$$\frac{1}{4}+2\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+3\cdot \frac{3}{4}=\frac{1}{4}+\frac{3}{2}+\frac{9}{4}=4$$
となり、確かに $4$ です。

したがって、最大値は $4$ です。

${\sin }^{2}x+3{\cos }^{2}x=1+2{\cos }^{2}x=2+\cos 2x$、$2\sqrt{3}\sin x\cos x=\sqrt{3}\sin 2x$ より、$f(x)=2+\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x=2+2\sin (2x+\frac{\pi }{6})$。$\sin (2x+\frac{\pi }{6})=1$ となる $x$ が存在するので最大値は $2+2=4$。検算：$x=\frac{\pi }{6}$ のとき $\sin x=\frac{1}{2},\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ より $f=\frac{1}{4}+2\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}+3\cdot \frac{3}{4}=\frac{1}{4}+\frac{3}{2}+\frac{9}{4}=4$。