$sin^{2} x$ , $sin x cos x$ , $cos^{2} x$ の式の変形

$sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}$ , $sin x cos x = \frac{sin 2 x}{2}$ , $cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}$ で次数を下げて合成し、 $a sin^{2} x + b sin x cos x + c cos^{2} x$ を $r sin (2 x + α) + k$ の形に直せる。これを使って、その最大値・最小値を求めたり、この式を含む不等式を解いたりできる

前提

三角関数の合成（数学II 三角関数）
三角関数の基本的な方程式・不等式（数学II 三角関数）

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算数中学高校大学大学院

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2次方程式の解の公式と判別式（数学I 2次関数）
三角比を含む方程式・不等式（数学I 図形と計量）
三角関数の基本的な方程式・不等式（数学II 三角関数）

説明

$sin^{2} x$ , $sin x cos x$ , $cos^{2} x$ のような「2次の三角関数」が混ざった式を、 $sin 2 x$ と $cos 2 x$ の1次式に書き直す技能です。書き直したあと合成すると、 $a sin^{2} x + b sin x cos x + c cos^{2} x$ を $r sin (2 x + α) + k$ という1つの $sin$ にまとめられます。こうなれば、最大値・最小値を求める問題や、この式を含む不等式を、前提の技能（合成と基本的な不等式）だけで解けます。

なぜそうしてよいのか

出発点は2倍角の公式 $cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x = 2 cos^{2} x - 1$ と $sin 2 x = 2 sin x cos x$ です。これをそれぞれ $sin^{2} x$ , $cos^{2} x$ , $sin x cos x$ について解くと $sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}, cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}, sin x cos x = \frac{sin 2 x}{2}$ が得られます。左辺はどれも $sin x, cos x$ の2次の式ですが、右辺は $sin 2 x, cos 2 x$ の1次の式と定数だけです。このように次数を下げることを「次数下げ」といいます。

なぜこれが役に立つかというと、3種類の項がすべて「同じ角 $2 x$ の $sin$ と $cos$ 」と定数に変わるからです。すると $a sin^{2} x + b sin x cos x + c cos^{2} x = p sin 2 x + q cos 2 x + k$ の形になり、 $p sin 2 x + q cos 2 x$ の部分は前提の技能である合成で $r sin (2 x + α)$ （ $r = p^{2} + q^{2}$ ）にまとめられます。 $sin$ が1つだけの式になれば、とりうる値の範囲は単位円で読み取れます。

ただし角は $x$ ではなく $2 x + α$ になっているので、 $x$ の範囲から $2 x + α$ の範囲を求め直す必要があります。

手順

次数下げの公式で置き換える： $sin^{2} x \to \frac{1 - cos 2 x}{2}$ , $sin x cos x \to \frac{sin 2 x}{2}$ , $cos^{2} x \to \frac{1 + cos 2 x}{2}$
整理して $p sin 2 x + q cos 2 x + k$ の形にまとめる（定数項 $k$ を忘れない）
合成する： $p sin 2 x + q cos 2 x = r sin (2 x + α)$ , $r = p^{2} + q^{2}$ , $cos α = \frac{p}{r}$ , $sin α = \frac{q}{r}$
$x$ の範囲から $θ = 2 x + α$ のとりうる範囲を求める
単位円やグラフで $sin θ$ の範囲（または不等式の解）を求め、 $r sin θ + k$ の値や $x$ の値に戻す

例題

$0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ のとき，関数 $f (x) = sin^{2} x + 23 sin x cos x + 3 cos^{2} x$ の最大値と最小値を順に求めよ。

例題の解答

【手順1】次数下げの公式で置き換えると $f (x) = \frac{1 - cos 2 x}{2} + 23 \cdot \frac{sin 2 x}{2} + 3 \cdot \frac{1 + cos 2 x}{2}$
【手順2】整理すると $f (x) = 3 sin 2 x + (- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}) cos 2 x + (\frac{1}{2} + \frac{3}{2}) = 3 sin 2 x + cos 2 x + 2$
【手順3】合成する。 $r = (3)^{2} + 1^{2} = 2$ ， $cos α = \frac{3}{2}$ ， $sin α = \frac{1}{2}$ より $α = \frac{π}{6}$ 。よって $f (x) = 2 sin (2 x + \frac{π}{6}) + 2$
【手順4】 $θ = 2 x + \frac{π}{6}$ とおく。 $0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ より $0 ≦ 2 x ≦ π$ なので $\frac{π}{6} ≦ θ ≦ \frac{7 π}{6}$
【手順5】この範囲で単位円を見ると， $sin θ$ は $θ = \frac{π}{2}$ で最大値 $1$ ， $θ = \frac{7 π}{6}$ で最小値 $- \frac{1}{2}$ をとる。したがって $- \frac{1}{2} ≦ sin θ ≦ 1$ より $1 ≦ f (x) ≦ 4$ 。
最大値は $θ = \frac{π}{2}$ つまり $x = \frac{π}{6}$ のとき $4$ ，最小値は $θ = \frac{7 π}{6}$ つまり $x = \frac{π}{2}$ のとき $1$ である。

答え: $(4, 1)$

よくある誤り

$sin x cos x = sin 2 x$ としてしまう誤り。正しくは $sin 2 x = 2 sin x cos x$ なので $sin x cos x = \frac{sin 2 x}{2}$ （係数 $\frac{1}{2}$ が付く）。
$sin^{2} x$ と $cos^{2} x$ の符号を取り違え， $sin^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}$ としてしまう誤り。正しくは $sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}$ , $cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}$ 。 $x = 0$ を代入して $sin^{2} 0 = 0$ になるか確かめるとよい。
置き換えたときに出る定数を落とし， $sin^{2} x + 3 cos^{2} x = - cos 2 x + \dots$ のように $k$ を忘れる誤り。正しくは $\frac{1 - cos 2 x}{2} + \frac{3 ( 1 + cos 2 x )}{2} = cos 2 x + 2$ で，定数 $2$ が残る。
角の範囲を $x$ のまま考え， $0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ から $\frac{π}{6} ≦ 2 x + \frac{π}{6} ≦ \frac{2 π}{3}$ のようにしてしまう誤り。正しくは $2$ 倍してから $\frac{π}{6}$ を足し， $\frac{π}{6} ≦ 2 x + \frac{π}{6} ≦ \frac{7 π}{6}$ 。 $0 ≦ x < 2 π$ なら $2 x + α$ は $α ≦ 2 x + α < 4 π + α$ と2周分になる点にも注意。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

$sin^{2} x$ , $sin x cos x$ , $cos^{2} x$ の式の変形

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題

sin2x, sinxcosx, cos2x の式の変形

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題

$sin^{2} x$ , $sin x cos x$ , $cos^{2} x$ の式の変形