三角関数の問題

左辺を $f(x)$ とおく。半角の公式・2倍角の公式
$${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2},{\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2},2\sin x\cos x=\sin 2x$$
を用いると
$$f(x)=\frac{3(1-\cos 2x)}{2}+\sqrt{3}\sin 2x+\frac{1+\cos 2x}{2}=2+\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x$$
となる。

次に三角関数の合成を行う。$\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+(-1{)}^2}=2$ であり、$\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2},\sin \alpha =-\frac{1}{2}$ を満たす角として $\alpha =-\frac{\pi }{6}$ をとれるから
$$\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x=2\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$$
よって
$$f(x)=2+2\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$$

不等式 $f(x)\geqq 3$ は
$$\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)\geqq \frac{1}{2}$$
となる。$\theta =2x-\frac{\pi }{6}$ とおくと、$0\leqq x<2\pi$ より
$$-\frac{\pi }{6}\leqq \theta <\frac{23\pi }{6}$$
この範囲で $\sin \theta \geqq \frac{1}{2}$ を満たす $\theta$ は
$$\frac{\pi }{6}\leqq \theta \leqq \frac{5\pi }{6},\frac{13\pi }{6}\leqq \theta \leqq \frac{17\pi }{6}$$
である（$\frac{13\pi }{6}=\frac{\pi }{6}+2\pi$、$\frac{17\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}+2\pi$ で、いずれも範囲内）。

$2x=\theta +\frac{\pi }{6}$ より
$$\frac{\pi }{3}\leqq 2x\leqq \pi ,\frac{7\pi }{3}\leqq 2x\leqq 3\pi$$
したがって
$$\frac{\pi }{6}\leqq x\leqq \frac{\pi }{2},\frac{7\pi }{6}\leqq x\leqq \frac{3\pi }{2}$$

（確認）$x=\frac{\pi }{6}$ のとき $f(x)=\frac{3}{4}+\frac{3}{2}+\frac{3}{4}=3$、$x=\frac{\pi }{2}$ のとき $f(x)=3$ となり、端点で等号が成り立つ。

答えは $\frac{\pi }{6}\leqq x\leqq \frac{\pi }{2},\frac{7\pi }{6}\leqq x\leqq \frac{3\pi }{2}$ である。

${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$, ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$, $\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}$ を用いると、左辺は $\frac{3(1-\cos 2x)}{2}+\sqrt{3}\sin 2x+\frac{1+\cos 2x}{2}=2-\cos 2x+\sqrt{3}\sin 2x$ となる。
よって不等式は $\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x\geqq 1$、すなわち $2\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)\geqq 1$ より $\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)\geqq \frac{1}{2}$。
$\theta =2x-\frac{\pi }{6}$ とおくと、$0\leqq x<2\pi$ より $-\frac{\pi }{6}\leqq \theta <\frac{23\pi }{6}$。
この範囲で $\sin \theta \geqq \frac{1}{2}$ となるのは $\frac{\pi }{6}\leqq \theta \leqq \frac{5\pi }{6}$ と $\frac{13\pi }{6}\leqq \theta \leqq \frac{17\pi }{6}$。
$x=\frac{\theta }{2}+\frac{\pi }{12}$ に戻すと、$\frac{\pi }{6}\leqq x\leqq \frac{\pi }{2}$ と $\frac{7\pi }{6}\leqq x\leqq \frac{3\pi }{2}$。
検算：$x=\frac{\pi }{6}$ では $\sin x=\frac{1}{2}$, $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ で、左辺 $=\frac{3}{4}+\frac{3}{2}+\frac{3}{4}=3$ となり等号が成立する。$x=\frac{\pi }{2}$ では左辺 $=3$ で等号成立。$x=\frac{\pi }{3}$ では左辺 $=\frac{9}{4}+\frac{3}{2}+\frac{1}{4}=4\geqq 3$ で成立。$x=0$ では左辺 $=1<3$ で不成立。