三角関数の問題

手順1：$\cos x$ について解いた形に直す。

$2\cos x+\sqrt{3}\leqq 0$ より
$$\cos x\leqq -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

手順2：まず等号が成り立つ $x$ を単位円で求める。

$\cos x$ は単位円上の点の $x$ 座標である。$0\leqq x<2\pi$ で $\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ となるのは、単位円と直線 $x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ の 2 つの交点に対応する角で
$$x=\frac{5}{6}\pi ,\frac{7}{6}\pi$$
である（$\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、$\pi -\frac{\pi }{6}$ と $\pi +\frac{\pi }{6}$）。

手順3：不等式を満たす部分を読み取る。

$\cos x\leqq -\frac{\sqrt{3}}{2}$ は、単位円上の点の $x$ 座標が $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 以下、つまり点が直線 $x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 上またはその左側にあることを表す。これは 2 つの交点ではさまれた左側の弧で、角でいうと $\frac{5}{6}\pi$ から $\frac{7}{6}\pi$ までである。等号を含むので両端も含む。

よって
$$\frac{5}{6}\pi \leqq x\leqq \frac{7}{6}\pi$$

$2\cos x+\sqrt{3}\leqq 0$ より $\cos x\leqq -\frac{\sqrt{3}}{2}$。
単位円で考えると、$0\leqq x<2\pi$ で $\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ となるのは $x=\frac{5\pi }{6},\frac{7\pi }{6}$。
$\cos x$ は $x=\pi$ で最小値 $-1$ をとり、この 2 点の間で $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 以下になる。
よって $\frac{5\pi }{6}\leqq x\leqq \frac{7\pi }{6}$。
検算：$x=\pi$ のとき $2\cos \pi +\sqrt{3}=-2+\sqrt{3}<0$ で成り立つ。$x=\frac{\pi }{2}$ のとき $\sqrt{3}>0$ で不適。端点 $x=\frac{5\pi }{6}$ のとき $2\cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})+\sqrt{3}=0$ で等号が成り立つ。