三角関数の合成

$a sin θ + b cos θ$ を $r sin (θ + α)$ の形にまとめられる

前提

加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）

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算数中学高校大学大学院

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説明

$a sin θ + b cos θ$ のように sin と cos が混ざった式を、 $r sin (θ + α)$ という 1 つの sin だけの式に書き直す方法です。sin が 1 つにまとまるので、最大値・最小値を求めたり、方程式 $a sin θ + b cos θ = c$ や不等式を解いたりするときに役立ちます。ここでは $a, b$ は同時には 0 でない実数とします。

なぜそうしてよいのか

出発点は加法定理 $sin (θ + α) = sin θ cos α + cos θ sin α$ です。両辺に $r$ を掛けると $r sin (θ + α) = (r cos α) sin θ + (r sin α) cos θ$ となります。これを $a sin θ + b cos θ$ と見比べると、 $r cos α = a, r sin α = b$ となる $r$ と $α$ が見つかれば、2 つの式は等しくなります。

そのような $r, α$ は座標平面で探せます。点 $P (a, b)$ をとり、原点 O からの距離を $r = a^{2} + b^{2}$ （ $a, b$ が同時に 0 でないので $r > 0$ ）とします。点 P は原点中心・半径 $r$ の円の上にあるので、単位円の考え方から、x 軸の正の向きから OP までの回転角を $α$ とすれば $a = r cos α, b = r sin α$ が成り立ちます。つまり $cos α = \frac{a}{r}, sin α = \frac{b}{r}$ です。

この $r, α$ を使うと $a sin θ + b cos θ = r (\frac{a}{r} sin θ + \frac{b}{r} cos θ) = r (sin θ cos α + cos θ sin α) = r sin (θ + α)$ となり、加法定理を逆向きに使ったことで 1 つの sin にまとまります。sin の係数 $a$ が x 座標、cos の係数 $b$ が y 座標に対応する点がポイントです。

手順

sin の係数 $a$ を x 座標、cos の係数 $b$ を y 座標として点 $P (a, b)$ を考え、 $r = a^{2} + b^{2}$ を求める。
式を $r$ でくくる: $a sin θ + b cos θ = r (\frac{a}{r} sin θ + \frac{b}{r} cos θ)$
$cos α = \frac{a}{r}, sin α = \frac{b}{r}$ をともに満たす角 $α$ を求める（点 P がどの象限にあるかで $α$ の範囲を確認する）。
加法定理を逆に使って $r (sin θ cos α + cos θ sin α) = r sin (θ + α)$ とまとめる。

例題

$sin θ - 3 cos θ$ を $r sin (θ + α)$ の形に表せ。ただし $r > 0$ 、 $- π < α \leq π$ とする。

例題の解答

手順 1: sin の係数は $1$ 、cos の係数は $- 3$ なので、点 $P (1, - 3)$ を考える。 $r = 1^{2} + (- 3)^{2} = 4 = 2$ 。
手順 2: $2$ でくくると $sin θ - 3 cos θ = 2 (\frac{1}{2} sin θ - \frac{3}{2} cos θ)$ 。
手順 3: $cos α = \frac{1}{2}, sin α = - \frac{3}{2}$ を満たす角を探す。点 P は第 4 象限にあるので、 $- π < α \leq π$ の範囲では $α = - \frac{π}{3}$ 。
手順 4: $2 (sin θ cos (- \frac{π}{3}) + cos θ sin (- \frac{π}{3})) = 2 sin (θ - \frac{π}{3})$ 。
確認: $2 sin (θ - \frac{π}{3}) = 2 (\frac{1}{2} sin θ - \frac{3}{2} cos θ) = sin θ - 3 cos θ$ で元の式に戻る。
よって $sin θ - 3 cos θ = 2 sin (θ - \frac{π}{3})$ 。

答え: $2 sin (θ - \frac{π}{3})$

よくある誤り

sin の係数と cos の係数を逆にとってしまう誤り。例えば $3 sin θ + cos θ$ で点を $(1, 3)$ として $α = \frac{π}{3}$ とするのは誤り。正しくは点 $(3, 1)$ で $cos α = \frac{3}{2}, sin α = \frac{1}{2}$ より $α = \frac{π}{6}$ 、 $3 sin θ + cos θ = 2 sin (θ + \frac{π}{6})$ 。
$r$ の計算で根号を忘れたり係数をそのまま足したりする誤り。例えば $3 sin θ + 4 cos θ$ で $r = 3^{2} + 4^{2} = 25$ や $r = 3 + 4 = 7$ とするのは誤り。正しくは $r = 3^{2} + 4^{2} = 5$ 。
係数の符号を無視して角を決めてしまう誤り。例えば $sin θ - 3 cos θ$ で $α = \frac{π}{3}$ とするのは誤り（ $2 sin (θ + \frac{π}{3}) = sin θ + 3 cos θ$ になってしまう）。正しくは点 $(1, - 3)$ が第 4 象限にあることから $α = - \frac{π}{3}$ 。
$cos α$ か $sin α$ の片方だけで $α$ を決めてしまう誤り。例えば $- sin θ + cos θ$ で $sin α = \frac{1}{2}$ だけを見て $α = \frac{π}{4}$ とするのは誤り。正しくは $cos α = - \frac{1}{2}$ も満たす $α = \frac{3}{4} π$ で、 $- sin θ + cos θ = 2 sin (θ + \frac{3}{4} π)$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

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