定数係数 2 階線形（斉次）

実数全体で定義された関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime \prime }-5y^{\prime }+6y=0$$ と初期条件 $y(0)=2$, $y^{\prime }(0)=5$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

実数全体で定義された関数 $y(x)$ が、微分方程式
$$y^{\prime \prime }-y^{\prime }-6y=0$$
と初期条件 $y(0)=5$, $y^{\prime }(0)=0$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

実数全体で定義された関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime \prime }-5y^{\prime }+6y=0$$ と初期条件 $y(0)=1$, $y^{\prime }(0)=4$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

実数全体で定義された関数 $y(x)$ が、微分方程式
$$y^{\prime \prime }-5y^{\prime }+6y=2e^x$$
と初期条件 $y(0)=0$, $y^{\prime }(0)=0$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

実数全体で定義された関数 $y(x)$ が、微分方程式
$$y^{\prime \prime }+3y^{\prime }+2y=12e^x$$
と初期条件 $y(0)=0$, $y^{\prime }(0)=0$ を満たすとする。$y(\log 2)$ の値を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数とする。

実数全体で定義された関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=2e^{3x}$$ と初期条件 $y(0)=0$, $y^{\prime }(0)=0$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

$\lambda$ を実数の定数とする。区間 $0\le x\le 2$ で定義された関数 $y(x)$ についての境界値問題
$$y^{\prime \prime }+\lambda y=0,y(0)=0,y(2)=0$$
が恒等的に $0$ でない解をもつような $\lambda$（固有値）のうち、最小のものを求めよ。

$\lambda$ を正の実数とする。$x$ の関数 $y$ についての境界値問題
$$y^{\prime \prime }+\lambda y=0,y(0)=0,y(3)=0$$
が恒等的に $0$ ではない解をもつような $\lambda$（固有値）のうち、2 番目に小さいものを求めよ。

$\lambda$ を正の実数とする。$x$ の関数 $y(x)$ についての境界値問題
$$y^{\prime \prime }+\lambda y=0,y(0)=0,y(2)=0$$
が恒等的に $0$ ではない解をもつような $\lambda$（固有値）のうち、最小のものを求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する波動方程式の初期値・境界値問題
$$u_{tt}=9u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u(0,t)=u(\pi ,t)=0(t\ge 0),u(x,0)=\sin 2x,u_t(x,0)=0(0\le x\le \pi )$$
を考える。$u=X(x)T(t)$ とおく変数分離法によってこの問題の解を求め、$u\left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{18}\right)$ の値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する波動方程式の初期値・境界値問題
$$u_{tt}=4u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u(0,t)=u(\pi ,t)=0(t\ge 0),$$
$$u(x,0)=\sin 3x,u_t(x,0)=0(0\le x\le \pi )$$
を考える。この問題の滑らかな解はただ一つであることが知られている。$u=X(x)T(t)$ とおく変数分離法によって解 $u(x,t)$ を求め、$u\left(\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{18}\right)$ の値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する波動方程式の初期値・境界値問題
$$u_{tt}=4u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u(0,t)=u(\pi ,t)=0(t\ge 0),$$
$$u(x,0)=2\sin x,u_t(x,0)=6\sin 3x(0\le x\le \pi )$$
を考える。$u(x,t)=X(x)T(t)$ とおく変数分離法で得られる解 $u$ について、$u\left(\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{8}\right)$ の値を求めよ。

ルベーグ測度に関する複素ヒルベルト空間 $L^2([0,1])$ 上の積分作用素 $T$ を
$$(Tf)(x)={\int }_0^1(1-\max (x,y))f(y)dy(f\in L^2([0,1]),x\in [0,1])$$
で定める。複素数 $\lambda$ が $T$ の固有値であるとは、$f\ne 0$ である $f\in L^2([0,1])$ で $Tf=\lambda f$ を満たすものが存在することとする。$T$ の固有値のうち $\frac{1}{100}$ より大きい実数であるものをすべて求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とする。$T>0$ を実数の定数とするとき、期待値
$$E\left[e^{W_T}\cos W_T\right]$$
を $T$ の式で求めよ。

長方形領域 $R=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid 0<x<\pi ,0<y<1\}$ におけるラプラス方程式のディリクレ問題
$$u_{xx}+u_{yy}=0((x,y)\in R),$$
$$u(0,y)=u(\pi ,y)=0(0\le y\le 1),u(x,0)=0,u(x,1)=\sin x+\sin 3x(0\le x\le \pi )$$
の解 $u\in C^2(R)\cap C(\overline{R})$ はただ 1 つ存在する。変数分離法によりこの解を求め、$u\left(\frac{\pi }{2},\frac{1}{2}\right)$ の値を求めよ。

区間 $0\le x\le 1$ 上で、微分作用素 $L=-\frac{d^2}{d{x}^2}+4$ に対する境界値問題
$$-\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+4y=f(x),y(0)=0,\frac{dy}{dx}(1)=0$$
を考える。まず、$0<x^{\prime }<1$ に対して
$$\left(-\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+4\right)G(x,x^{\prime })=\delta (x-x^{\prime }),G(0,x^{\prime })=0,\frac{\partial G}{\partial x}(1,x^{\prime })=0$$
を満たすグリーン関数 $G(x,x^{\prime })$ を求める。次に、それを用いて $f(x)=1$（$0\le x\le 1$ で一様な源）のときの解 $y(x)={\int }_0^{1}G(x,x^{\prime })f(x^{\prime })d{x}^{\prime }$ を考える。このときの $y(1)$ の値を求めよ。答えは $e$（自然対数の底）を用いた正確な式で表せ。

実数 $t$ の関数 $x(t),y(t)$ が、連立微分方程式
$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x-5y\\ y^{\prime }=x-3y\end{array}$$
と初期条件 $x(0)=1,y(0)=0$ を満たすとする。$x(t)$ を求めよ。

実数全体で定義された 2 回微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式
$$y^{\prime \prime }-y^{\prime }-2y=18x{e}^{-x}$$
と条件 $y(0)=1$ を満たし、さらに区間 $x\ge 0$ で有界であるとする。このとき、広義積分
$${\int }_0^{\infty }y(x)dx$$
の値を求めよ。

実数 $t$ の関数 $x(t),y(t)$ が、連立微分方程式
$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=3x-5y\\ y^{\prime }=x-y\end{array}$$
と初期条件 $x(0)=1,y(0)=1$ を満たすとする。$x\left(\frac{\pi }{2}\right)$ の値を求めよ。

$x>0$ で定義された関数 $y(x)$ が、微分方程式
$$y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+y=\frac{e^x}{x^2}$$
と初期条件 $y(1)=0$, $y^{\prime }(1)=0$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

実数全体で定義された関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime \prime }+9y=12\sin 3x+9x$$ と初期条件 $y(0)=0$, $y^{\prime }(0)=0$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

実数全体で定義された関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+5y=8e^{-x}\cos 2x$$ と初期条件 $y(0)=1$, $y^{\prime }(0)=-1$ を満たすとする。$y\left(\frac{\pi }{4}\right)$ の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^2$ 上の減衰のある制御系
$${\dot{x}}_1(t)=x_2(t),{\dot{x}}_2(t)=-2x_1(t)-2x_2(t)+u(t)$$
を考える。許容制御とは、ある $T>0$ に対する可測関数 $u:[0,T]\to [0,1]$ のこととし（制御は $0$ 以上 $1$ 以下の値だけをとる）、状態 $x=(x_1,x_2)$ は初期条件 $x(0)=a$ のもとでの（絶対連続な）解とする。ここで $a\in {\mathbb{R}}^2$, $a\ne (0,0)$ は定数である。

$x(T)=(0,0)$ を満たす許容制御のうち、終端時刻 $T$ が最小のもの（時間最適制御）$u^{\ast }:[0,T^{\ast }]\to [0,1]$ が存在すると仮定し、対応する状態を $x^{\ast }$ とする。

次のポントリャーギンの最大原理は用いてよい: $H(x,p,v)=p_1{x}_2+p_2(-2x_1-2x_2+v)-{\lambda }_0$ とおくと、定数 ${\lambda }_0\ge 0$ と絶対連続な $p=(p_1,p_2):[0,T^{\ast }]\to {\mathbb{R}}^2$ が存在して、
- すべての $t\in [0,T^{\ast }]$ で $({\lambda }_0,p_1(t),p_2(t))\ne (0,0,0)$
- ほとんどすべての $t$ で ${\dot{p}}_1=-\frac{\partial H}{\partial x_1}$, ${\dot{p}}_2=-\frac{\partial H}{\partial x_2}$（$(x^{\ast }(t),p(t),u^{\ast }(t))$ で評価）
- ほとんどすべての $t$ で $H(x^{\ast }(t),p(t),u^{\ast }(t))={\max }_{0\le v\le 1}H(x^{\ast }(t),p(t),v)=0$

が成り立つ。また、定数係数の 2 階線形常微分方程式 $\ddot{y}-2\dot{y}+2y=0$ の $C^2$ 級の解が $e^t\cos t,e^t\sin t$ の 1 次結合で尽くされることも用いてよい。

このとき、次の性質をもつ $\sigma \in \{1,-1\}$、整数 $k\ge 0$、実数 $0={\tau }_0<{\tau }_1<\cdots <{\tau }_k<{\tau }_{k+1}=T^{\ast }$ が存在することを証明せよ。
- 各 $i=0,1,\dots ,k$ について、開区間 $({\tau }_i,{\tau }_{i+1})$ 上ほとんどいたるところで $u^{\ast }(t)=\frac{1+(-1{)}^i\sigma }{2}$ である（すなわち $u^{\ast }$ は区間ごとに値 $1$ と $0$ を交互にとる）。
- すべての $i=0,1,\dots ,k$ について ${\tau }_{i+1}-{\tau }_i\le \pi$ である。
- $1\le i\le k-1$ を満たすすべての $i$ について ${\tau }_{i+1}-{\tau }_i=\pi$ である（$k\le 1$ のときはこの条件は課さない）。

$x\ge 0$ で 2 回微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式
$$y^{\prime \prime }-y^{\prime }-2y=6e^{-x}-4(x\ge 0)$$
と初期条件 $y(0)=1$ を満たし、さらに $x\ge 0$ で有界であるとする。このとき、$x\ge 0$ における $y(x)$ の最小値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ における作用素 $L=-\Delta +1$ を考える（$\Delta$ はラプラシアン、$|\cdot |$ はユークリッドノルム）。超関数の意味で
$$(-\Delta +1)\Phi ={\delta }_0({\mathbb{R}}^3\text{ 上})$$
をみたし、$x\ne 0$ で $|x|$ のみに依存し、かつ $|x|\to \infty$ で $\Phi (x)\to 0$ となる関数 $\Phi$ を $L$ の基本解とする。ここで ${\delta }_0$ は原点におけるディラックのデルタである。

$B=\{y\in {\mathbb{R}}^3\mid |y|<1\}$ の定義関数を $f={\chi }_B$ とし、
$$u(x)={\int }_{{\mathbb{R}}^3}\Phi (x-y)f(y)dy(x\in {\mathbb{R}}^3)$$
と定める。$u(2,0,0)$ の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ において、作用素 $-\Delta +1$ の基本解を考える。すなわち、超関数の意味で
$$-\Delta \Phi +\Phi ={\delta }_0(\text{in }{\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^3))$$
をみたし、$\Phi (x)$ は $|x|$ のみに依存し、$|x|\to \infty$ で $\Phi (x)\to 0$ となるものを $\Phi$ とする（${\delta }_0$ は原点におけるディラックのデルタ）。

単位閉球 $\overline{B}=\{y\in {\mathbb{R}}^3:|y|\le 1\}$ の定義関数を $f={\chi }_{\overline{B}}$ とし、
$$u(x)={\int }_{{\mathbb{R}}^3}\Phi (x-y)f(y)dy(x\in {\mathbb{R}}^3)$$
とおく（$u$ は $-\Delta u+u=f$ の、無限遠で $0$ に減衰する解である）。点 $x_0=(2,0,0)$ における値 $u(x_0)$ を求めよ。

ルベーグ測度に関する複素ヒルベルト空間 $L^2([0,2])$ 上の積分作用素 $T$ を
$$(Tf)(x)={\int }_0^2\min (x,y)f(y)dy(f\in L^2([0,2]),x\in [0,2])$$
で定める。$T$ の $0$ でない固有値を重複度（固有空間の次元）の分だけ繰り返して並べたものを ${\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge {\lambda }_3\ge \cdots$ とする。無限積
$$\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\lambda }_n\right)$$
の値を求めよ。

実数 $t$ の関数 $x(t),y(t)$ が、連立微分方程式
$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x+y\\ y^{\prime }=-x+3y+e^{2t}\end{array}$$
と初期条件 $x(0)=1,y(0)=0$ をみたすとする。$x(t)$ を求めよ。

実数 $t$ の関数 $x(t)$, $y(t)$ が、連立微分方程式 $$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=3x-y+e^{2t}\\ y^{\prime }=x+y\end{array}$$ と初期条件 $x(0)=1$, $y(0)=0$ を満たすとする。$x(t)$ を求めよ。

区間 $0\le x\le \frac{\pi }{2}$ で 2 回微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime \prime }+y=4x\cos x$$ と境界条件 $y(0)=0$, $y\left(\frac{\pi }{2}\right)=0$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

実ソボレフ空間 $H^1(0,1)$ を、$f\in L^2(0,1)$ でその弱導関数 $f^{\prime }$ も $L^2(0,1)$ に属するもの全体とし（各 $f$ は $[0,1]$ 上の絶対連続な代表元と同一視する）、内積
$$⟨f,g⟩={\int }_0^1(f(x)g(x)+f^{\prime }(x)g^{\prime }(x))dx$$
によって実ヒルベルト空間とみなす。閉部分空間
$$M=\{f\in H^1(0,1):f(0)=f(1)=0\}$$
と関数 $g(x)=1+x^2$ に対し、$g$ と $M$ との距離の 2 乗
$$d^2=\underset{f\in M}{\inf }\Vert g-f{\Vert }^2=\underset{f\in M}{\inf }{\int }_0^1\left(\right(g(x)-f(x){)}^2+(g^{\prime }(x)-f^{\prime }(x){)}^2)dx$$
を求めよ。ただし $e$ は自然対数の底とし、答えは $e$ を用いて表せ。

$u=u(x,t)$ に対する減衰項付き波動方程式（電信方程式）の初期値・境界値問題
$$u_{tt}+2u_t=u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u(0,t)=u(\pi ,t)=0(t\ge 0),$$
$$u(x,0)=x(\pi -x),u_t(x,0)=0(0\le x\le \pi )$$
を考える。変数分離法により $u$ を $\sin nx$（$n$ は正の整数）のフーリエ正弦級数
$$u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }{T}_n(t)\sin nx$$
の形で求めたとき、広義積分
$$I={\int }_0^{\infty }u\left(\frac{\pi }{2},t\right)dt$$
の値を求めよ。必要ならば $\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{(2k+1{)}^5}=\frac{5{\pi }^5}{1536}$ を用いてよい。

$u=u(x,t)$ に対する非線形 1 階偏微分方程式（ハミルトン・ヤコビ方程式）の初期値問題
$$u_t+\frac{1}{2}(u_x{)}^2+\frac{1}{2}{x}^2=0\left(x\in \mathbb{R},0<t<\frac{\pi }{2}\right),u(x,0)=x(x\in \mathbb{R})$$
を考える。この問題は $\mathbb{R}\times \left[0,\frac{\pi }{2}\right)$ 上の $C^2$ 級の解 $u$ をただ一つもつ（このことは認めてよい）。特性曲線の方法（特性方程式）を用いて $u$ を求め、値 $u\left(1,\frac{\pi }{3}\right)$ を求めよ。

$x$ 軸に垂直な、十分に広い 2 枚の平板電極を $x=0$ と $x=d$ に置き、その間（$0<x<d$）を一様なプラズマで満たす。電極 $x=0$ の電位を ${\varphi }_0$（${\varphi }_0>0$）、電極 $x=d$ の電位を $0$ に保つ。電位 $\varphi$ は $x$ だけの関数である。

プラズマは次のようにふるまうものとする。
- イオン（電荷 $+e$）は動かず、その密度は一様に $n_0$ である
- 電子（電荷 $-e$）は温度 $T_e$ の熱平衡にあり、密度はボルツマン分布 $n_e(x)=n_0\exp \left(\frac{e\varphi (x)}{k_B{T}_e}\right)$ に従う
- $0\le x\le d$ のすべての点で $e|\varphi |\ll k_B{T}_e$ が成り立ち、$n_e$ は $\varphi$ について 1 次まで近似してよい

電子のデバイ長を ${\lambda }_D=\sqrt{\frac{{\epsilon }_0{k}_B{T}_e}{n_0{e}^2}}$ とし（${\epsilon }_0$ は真空の誘電率、$k_B$ はボルツマン定数）、電極間隔はデバイ長を用いて $d={\lambda }_D\log 3$ と表されるとする（$\log$ は自然対数）。

電極間のプラズマ中にある空間電荷の、電極の単位面積あたりの総量 $Q={\int }_0^d\rho (x)dx$（$\rho$ は電荷密度）を、${\epsilon }_0,{\varphi }_0,d$ を用いて求めよ（${\lambda }_D$ は答えに含めないこと）。

$L^2(0,1)$ を区間 $(0,1)$ 上の複素数値 2 乗可積分関数（ほとんどいたるところ等しいものを同一視する）のなすヒルベルト空間とする。積分作用素 $K:L^2(0,1)\to L^2(0,1)$ を
$$(Kf)(x)={\int }_0^1(1-\max (x,t))f(t)dt(0<x<1)$$
で定める。$\lambda \in \mathbb{C}$ が $K$ の固有値であるとは、$Kf=\lambda f$ を満たす $f\in L^2(0,1)$, $f\ne 0$ が存在することをいう。このとき、$K$ の固有値全体の集合が
$$\left\{\frac{4}{(2n-1{)}^2{\pi }^2}|n=1,2,3,\dots \right\}$$
に一致することを証明せよ（特に $0$ は固有値でない）。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。
- フビニの定理。
- $f\in L^1(0,1)$ に対し $F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$ は $[0,1]$ 上連続であり、すべての $x\in [0,1]$ で $F(x)=0$ ならば $f=0$（ほとんどいたるところ）である。
- 定数係数の 2 階線形常微分方程式 $u^{\prime \prime }+cu=0$（$c\in \mathbb{C}$）の $C^2$ 級の解は、初期値 $u(0),u^{\prime }(0)$ によって一意に定まる。

ルベーグ測度に関する複素ヒルベルト空間 $L^2([0,1])$ 上の積分作用素 $T$ を
$$(Tf)(x)={\int }_0^{1}K(x,y)f(y)dy,K(x,y)=\frac{1}{2}\min (x,y)(2-\max (x,y))(f\in L^2([0,1]),x\in [0,1])$$
で定める。$T$ の $0$ でない固有値を重複度をこめて ${\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge \cdots$ と並べる（固有値はすべて正の実数であり、${\sum }_n{\lambda }_n<\infty$ となることが知られている）。無限積
$$\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\lambda }_n\right)$$
の値を求めよ。