デバイ遮蔽とデバイ長

ボルツマン分布を線形化したポアソン方程式から遮蔽されたポテンシャル $ϕ \propto \frac{e ^{- r / λ_{D}}}{r}$ を導き、デバイ長 $λ_{D} = \frac{ε _{0} k _{B} T _{e}}{n _{e} e ^{2}}$ や、複数の粒子種の寄与を足した $\frac{1}{λ _{D}^{2}} = \sum_{s} \frac{n _{s} q _{s}^{2}}{ε _{0} k _{B} T _{s}}$ を計算できる

前提

ガウスの法則による電場（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
カノニカル分布と分配関数（大学物理統計力学）
定数係数 2 階線形（斉次）（大学数学微分方程式）
勾配・発散・回転（大学数学ベクトル解析）

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算数中学高校大学大学院

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三角関数の合成（数学II 三角関数）
定数係数 2 階線形（斉次）（大学数学微分方程式）
勾配・発散・回転（大学数学ベクトル解析）

説明

プラズマの中に電荷を 1 つ置くと、まわりの電子やイオンが引き寄せられたり押しのけられたりして、その電荷の電場を打ち消すように集まります。その結果、電位はクーロンポテンシャル $\frac{1}{r}$ よりずっと速く $\frac{e ^{- r / λ_{D}}}{r}$ の形で減衰します。これをデバイ遮蔽といい、減衰の長さの目安 $λ_{D}$ をデバイ長といいます。デバイ長は「どれくらい離れると個々の電荷の影響が見えなくなるか」を表し、電離気体がプラズマとしてふるまうかの判定や、粒子種ごとの遮蔽への寄与の比較に使います。

なぜそうしてよいのか

電位 $ϕ$ と電荷密度 $ρ$ の関係から始めます。ガウスの法則を微小な体積に使うと $\nabla \cdot E = \frac{ρ}{ε _{0}}$ で、 $E = - \nabla ϕ$ なので $\nabla^{2} ϕ = - \frac{ρ}{ε _{0}}$ （ポアソン方程式）が成り立ちます。電荷 $q_{s}$ 、温度 $T_{s}$ の粒子種 $s$ は、電位 $ϕ$ の場所ではポテンシャルエネルギー $q_{s} ϕ$ をもつので、ボルツマン因子により密度は $n_{s} = n_{s 0} e^{- q_{s} ϕ / k_{B} T_{s}}$ になります（ $n_{s 0}$ は $ϕ = 0$ の遠方での密度）。遠方では電気的に中性で $\sum_{s} q_{s} n_{s 0} = 0$ です。

電位が小さく $∣ q_{s} ϕ ∣ ≪ k_{B} T_{s}$ のときは $e^{x} \approx 1 + x$ と線形化できて、 $n_{s} \approx n_{s 0} (1 - \frac{q _{s} ϕ}{k _{B} T _{s}})$ 。電荷密度は $ρ = \sum_{s} q_{s} n_{s} \approx - \sum_{s} \frac{n _{s 0} q _{s}^{2}}{k _{B} T _{s}} ϕ$ となり、中性の条件で定数項は消えます。これをポアソン方程式に入れると
$\nabla^{2} ϕ = \frac{ϕ}{λ _{D}^{2}}, \frac{1}{λ _{D}^{2}} = s \sum \frac{n _{s 0} q _{s}^{2}}{ε _{0} k _{B} T _{s}}$
を得ます。 $q_{s}^{2} > 0$ なので、正負どちらの粒子も「電位を打ち消す向き」に集まり、どの種も $\frac{1}{λ _{D}^{2}}$ を大きくする（遮蔽を強める）方向に足し算で効きます。イオンが重くて動かないとみなせるときは電子だけが寄与し $λ_{D} = \frac{ε _{0} k _{B} T _{e}}{n _{e} e ^{2}}$ です。

原点に点電荷 $Q$ を置いた球対称の場合、 $ϕ (r)$ のラプラシアンは $\nabla^{2} ϕ = ϕ^{''} + \frac{2}{r} ϕ^{'} = \frac{1}{r} \frac{d ^{2} ( r ϕ )}{d r ^{2}}$ と書けます。 $u = r ϕ$ とおくと $u^{''} = \frac{u}{λ _{D}^{2}}$ という定数係数の方程式になり、一般解は $u = A e^{- r / λ_{D}} + B e^{r / λ_{D}}$ 。遠くで発散しないので $B = 0$ 、原点のごく近くではまわりの粒子の影響がなく $ϕ \to \frac{Q}{4 π ε _{0} r}$ となるので $A = \frac{Q}{4 π ε _{0}}$ 。よって $ϕ = \frac{Q}{4 π ε _{0} r} e^{- r / λ_{D}}$ です。温度が高いと粒子が熱運動で散らばって遮蔽が弱く（ $λ_{D}$ が長く）、密度が高いと集まれる粒子が多く遮蔽が強く（ $λ_{D}$ が短く）なります。

手順

遮蔽に参加する粒子種 $s$ をすべて挙げ、それぞれの電荷 $q_{s}$ 、遠方での密度 $n_{s 0}$ 、温度 $T_{s}$ を確認する（動かないとみなす種は除く）
ボルツマン分布 $n_{s} = n_{s 0} e^{- q_{s} ϕ / k_{B} T_{s}}$ を $∣ q_{s} ϕ ∣ ≪ k_{B} T_{s}$ として線形化し、電荷密度 $ρ \approx - \sum_{s} \frac{n _{s 0} q _{s}^{2}}{k _{B} T _{s}} ϕ$ を作る
ポアソン方程式 $\nabla^{2} ϕ = - \frac{ρ}{ε _{0}}$ に入れて $\nabla^{2} ϕ = \frac{ϕ}{λ _{D}^{2}}$ の形にし、 $\frac{1}{λ _{D}^{2}} = \sum_{s} \frac{n _{s 0} q _{s}^{2}}{ε _{0} k _{B} T _{s}}$ を読み取る
$\frac{1}{λ _{D}^{2}}$ の和を計算してから逆数をとり、平方根で $λ_{D}$ を求める
電位の形が必要なら、球対称で $u = r ϕ$ とおいて $u^{''} = u / λ_{D}^{2}$ を解き、遠方で有限・原点近くでクーロン電位という条件から $ϕ = \frac{Q}{4 π ε _{0} r} e^{- r / λ_{D}}$ を得る

例題

電子（電荷 $- e$ ）と 1 価の陽イオン（電荷 $+ e$ ）からなる、温度が等しい水素プラズマがある。遠方での電子とイオンの数密度はどちらも $n_{0}$ 、温度はどちらも $T$ で、電子とイオンの両方がボルツマン分布に従って遮蔽に寄与するとする。 $∣ e ϕ ∣ ≪ k_{B} T$ として線形化し、このプラズマのデバイ長 $λ_{D}$ を $ε_{0}, k_{B}, T, n_{0}, e$ で求めよ。

例題の解答

手順 1: 遮蔽に参加するのは電子（ $q = - e$ 、密度 $n_{0}$ 、温度 $T$ ）とイオン（ $q = + e$ 、密度 $n_{0}$ 、温度 $T$ ）の 2 種。遠方では $(- e) n_{0} + (+ e) n_{0} = 0$ で中性である。

手順 2: 電子は $n_{e} = n_{0} e^{e ϕ / k_{B} T} \approx n_{0} (1 + \frac{e ϕ}{k _{B} T})$ 、イオンは $n_{i} = n_{0} e^{- e ϕ / k_{B} T} \approx n_{0} (1 - \frac{e ϕ}{k _{B} T})$ 。よって
$ρ = e (n_{i} - n_{e}) \approx - \frac{2 n _{0} e ^{2}}{k _{B} T} ϕ$

手順 3: ポアソン方程式に入れると $\nabla^{2} ϕ = \frac{2 n _{0} e ^{2}}{ε _{0} k _{B} T} ϕ$ なので
$\frac{1}{λ _{D}^{2}} = \frac{n _{0} e ^{2}}{ε _{0} k _{B} T} + \frac{n _{0} e ^{2}}{ε _{0} k _{B} T} = \frac{2 n _{0} e ^{2}}{ε _{0} k _{B} T}$

手順 4: 逆数をとって平方根をとると
$λ_{D} = \frac{ε _{0} k _{B} T}{2 n _{0} e ^{2}}$
これは電子だけのデバイ長 $\frac{ε _{0} k _{B} T}{n _{0} e ^{2}}$ の $\frac{1}{2}$ 倍で、イオンも遮蔽に加わる分だけ短くなっている。

答え: $\frac{ε _{0} k _{B} T}{2 n _{0} e ^{2}}$

よくある誤り

複数の粒子種の寄与を $λ_{D}$ そのもので足してしまう誤り（例: $λ_{D} = λ_{D e} + λ_{D i}$ ）。正しくは逆 2 乗で足して $\frac{1}{λ _{D}^{2}} = \frac{1}{λ _{D e}^{2}} + \frac{1}{λ _{D i}^{2}}$
電荷が負の電子の寄与に負号をつけて $\frac{1}{λ _{D}^{2}} = \frac{n _{i} e ^{2}}{ε _{0} k _{B} T _{i}} - \frac{n _{e} e ^{2}}{ε _{0} k _{B} T _{e}}$ のように引いてしまう誤り。寄与は $q_{s}^{2}$ に比例するので、正しくはどの種も正の量として足す
$Z$ 価のイオンの寄与を $\frac{n _{i} Z e ^{2}}{ε _{0} k _{B} T _{i}}$ としてしまう誤り。正しくは電荷 $q = Z e$ の 2 乗で $\frac{n _{i} Z ^{2} e ^{2}}{ε _{0} k _{B} T _{i}}$
線形化した方程式の一般解 $ϕ = \frac{1}{r} (A e^{- r / λ_{D}} + B e^{r / λ_{D}})$ で $B$ を残したり、 $A$ を決めずに終えたりする誤り。正しくは遠方で有限なので $B = 0$ 、原点近くでクーロン電位に一致するので $A = \frac{Q}{4 π ε _{0}}$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
電子密度 $n_{e} = 1.0 \times 1 0^{17} m^{- 3}$ 、電子温度 $T_{e}$ が $k_{B} T_{e} = 2.0 eV$ に相当する電離したプラズマがある。イオンは動かないものとし、遮蔽には電子だけが寄与するとして、デバイ長
$λ_{D} = \frac{ε _{0} k _{B} T _{e}}{n _{e} e ^{2}}$
を計算する。真空の誘電率を $ε_{0} = 8.85 \times 1 0^{- 12} F/m$ 、電気素量を $e = 1.60 \times 1 0^{- 19} C$ （ $1 eV = 1.60 \times 1 0^{- 19} J$ ）とする。
このプラズマのデバイ長は何 $μ m$ か。有効数字 2 桁で答えよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

プラズマパラメータ（大学物理プラズマ物理）