なめらかな水平面上を、質量 の台車が右向きに速さ で進んでいる。ある時刻から、台車に右向きで大きさ の一定の水平な力を加え続けたところ、台車の速さは右向きに になった。力を加えていた時間は何 s か。有効数字 2 桁で答えよ。ただし、台車と水平面のあいだの摩擦と空気抵抗は無視でき、台車は回転しない一つの物体として扱えるものとする。
運動量と力積
運動量の変化が力積に等しいこと を使い、物体が受けた力積や、一定の力がはたらいた時間を求められる
前提
- 運動方程式 （高校物理 力と運動）
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- 2 力のつり合いと作用・反作用 （中学理科 力のはたらき）
- 力の種類とはたらき （中学理科 物理分野の用語と知識）
- 重力・垂直抗力・張力の性質 （高校物理 力と運動（知識））
- 慣性の法則と力のつり合い （高校物理 力と運動（知識））
- 力の分解と質点のつり合い （高校物理 力と運動）
- 運動の法則（運動方程式） （高校物理 力と運動（知識））
- 運動方程式 （高校物理 力と運動）
説明
物体の質量 と速度 の積 を「運動量」と呼びます。物体が力を受けると運動量は変化し、その変化は力と力がはたらいた時間の積 （「力積」）にちょうど等しくなります。この関係を使うと、バットで打たれたボールや壁にぶつかった物体が受けた力積を、速度の変化だけから求められます。また、一定の力でブレーキをかけたときに止まるまでの時間なども求められます。
なぜそうしてよいのか
運動方程式から導きます。質量 の物体に一定の力 （物体が受ける力の合力）が時間 の間はたらき、速度が から に変わったとします。力が一定なら加速度も一定なので、 です。これを運動方程式 に代入して両辺に をかけると となります。つまり「運動量の変化 ＝ 受けた力積」です。単位は左辺が 、右辺が で、 なので両者は同じ単位です。
直観的には、同じ力でも長く押すほど、また同じ時間でも強く押すほど、速度は大きく変わります。さらに重い物体ほど同じ速度変化に大きな力積が必要です。この式はその三つをまとめて表しています。
衝突のように力が時間とともに変わる場合でも、力を横軸 ・縦軸 のグラフに描いたときの面積が力積になり、上の関係はそのまま成り立ちます。そこで、同じ時間 に同じ力積を与える一定の力を「平均の力」と呼びます。なお、この式はベクトルの式です。直線上の運動では正の向きを決め、速度・力を符号付きの数で扱います。平面上の運動では 成分・ 成分ごとに式を立てます。
手順
正の向きを決める（直線上の運動なら、たとえば「右向きを正」とする。平面なら 軸・ 軸を決める）。
力を受ける前の速度 と後の速度 を、正の向きに合わせて符号付きで書く（逆向きなら負の値）。
前後の運動量 と を計算する。
力積 を計算する。求めた値の符号が力積の向きを表す。
力が一定で時間を求めたいときは、 のように式を変形して求める（）。
例題
質量 のボールが、水平な直線上を右向きに速さ で飛んできた。このボールをバットで打ち返したところ、同じ直線上を左向きに速さ で飛んでいった。バットとの接触中、ボールにはたらくバット以外の力の力積は無視できるものとする。右向きを正として、ボールがバットから受けた力積は何 か。
例題の解答
手順1：右向きを正とする。
手順2：打たれる前の速度は右向きなので 、打たれた後は左向きなので 。
手順3：前の運動量は 、後の運動量は 。
手順4：力積は 符号が負なので、力積の向きは左向き、大きさは である。
答え：
答え:
よくある誤り
速さ（大きさ）だけで差をとってしまう誤り。例の問題で とすると、跳ね返りで向きが逆になったことが反映されない。正しくは、向きを符号に入れて 。
引き算の順序を逆にして としてしまう誤り。符号が逆になり、力積の向きを取り違える。正しくは「後 − 前」で 。
力積を運動量そのもの（ だけ）と取り違える誤り。たとえば静止していない物体で としてしまう。正しくは、力積は運動量の「変化」であり 。（はじめ静止）のときだけ になる。
に物体が受ける力の一部だけを入れてしまう誤り。たとえば摩擦のある面で引く力だけを とする。正しくは、 は物体が受けるすべての力の合力（運動方向の成分）で、たとえば引く力 と動摩擦力 が逆向きなら 。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
力を加え始めたときのようす なめらかな水平面上を、質量 の物体が右向きに速さ で運動している。この物体に、右向きで大きさ の一定の水平な力を加え続けたところ、物体の速さは右向きに になった。力を加えていた時間は何 s か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、空気抵抗は無視する。
力を加え始めたときのようす なめらかな水平面上を、質量 の物体が右向きに速さ で一直線上を進んでいる。ある時刻から、この物体に左向きで大きさ の一定の水平な力を加え続けたところ、物体はやがて静止した。力を加え始めてから物体が静止するまでの時間は何 s か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、空気抵抗は無視する。
この技能を使う問題
質量 のボールが、水平に左向きに速さ で飛んできた。これをバットで打ち返したところ、ボールは同じ水平な直線上を右向きに速さ で飛んでいった。ボールとバットが接触していた時間は であった。この間にボールがバットから受けた平均の力の大きさは何 N か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、接触している間に重力や空気抵抗がボールに与える影響は無視できるものとする。
打つ前 打った後 バットボールの速度の向き（右向きを正とする） なめらかな水平面上に、質量 の板が静止している。板の上面は水平で粗い。板の左端に質量 の小物体を乗せ、小物体だけに右向きの速さ を瞬間的に与えたところ、小物体は板の上をすべり、やがて板と一体となって運動した。小物体は板から落ちなかった。小物体と板の上面の間の動摩擦係数を 、重力加速度の大きさを とし、空気抵抗は無視する。小物体に速さを与えてから、小物体と板が一体となるまでの時間は何 s か。有効数字 2 桁で求めよ。
速さを与えた直後のようす なめらかな水平面上に、質量 の台車が静止している。質量 の小球が、水平面に沿って右向きに速さ で進んできて、台車の左端の鉛直な面に正面から衝突した。小球と台車は同じ一直線上だけを運動する。衝突していた時間は で、その間に台車が小球から受けた力の平均の大きさは であった。右向きを正として、衝突直後の小球の速度は何 m/s か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、空気抵抗は無視し、台車の車輪と水平面の間の摩擦も無視できるものとする。
半径 の球形の容器の中に、質量 の単原子分子が 個入っている。分子はどれも同じ速さ で運動し、容器の内壁と弾性衝突をくり返す。分子どうしの衝突と重力は無視する。
ある 1 個の分子に注目すると、この分子は壁に衝突するたびに、衝突点と球の中心を結ぶ直線に対して入射角と同じ角度ではね返る。そのため、この分子が壁に衝突するときの、速度と「衝突点と中心を結ぶ直線」とのなす角は、つねに同じ値 （）である。 の値は分子ごとに異なってよい。
個の分子が容器の内壁に及ぼす力の時間平均が内壁の全面に一様にはたらくものとして、容器内の気体の圧力 を、, , , を用いて表せ。
分子1 個の分子の運動のようす（ の一例） なめらかな水平な台の上に、質量 、長さ の一様な細い棒 が静止して置かれている。棒上の点 は を満たす。点 に、水平で棒に垂直な向きに大きさ の力積を瞬間的に加えた。力積を加えた直後の端 の速さを , を用いて表せ。ただし、台と棒のあいだの摩擦は無視し、力積を加えるあいだ棒の位置は変わらないものとする。
真上から見た図 なめらかな水平面上を、質量 の物体が右向きに速さ で一直線上を進んでいる。この物体は、内部に仕込んだばね装置のはたらきによって、ある瞬間に質量 の部分 と質量 の部分 に分かれた。分かれた直後、 と はもとの運動と同じ直線上を運動し、 は右向きに速さ で進んだ。
分かれる間に が から受けた力積を、右向きを正として、単位を とし、有効数字 2 桁で求めよ。ただし、分かれる間に物体が水平方向に受ける外力はないものとし、ばね装置の質量は , の質量にふくまれているものとする。
分かれる前のようす
この技能の次に学べること
- 運動量保存則 （高校物理 仕事・エネルギーと運動量）
- 運動量と力積 （高校物理 仕事・エネルギーと運動量（知識））
- 気体分子運動論 （高校物理 熱と気体）
- 電磁場の運動量と放射圧 （大学物理 電磁波と電磁場）
- クーロン散乱の衝突径数と散乱角 （大学物理 原子核・素粒子）
- 運動量の法則と噴流が固定板に及ぼす力 （大学物理 流体工学）