気体分子運動論

容器にヘリウムが入っており、その温度は $27{}^{\circ }\mathrm{C}$ である。ヘリウムは単原子分子の理想気体とみなす。ヘリウム分子 1 個の質量を $6.6\times 10^{-27}\mathrm{kg}$、ボルツマン定数を $k=1.38\times 10^{-23}J/K$ とし、絶対温度 $T[\mathrm{K}]$ とセルシウス温度 $t{[}^{\circ }\mathrm{C}]$ の関係を $T=t+273$ とする。分子の平均運動エネルギーと絶対温度の関係
$$\frac{1}{2}m\overline{v^2}=\frac{3}{2}kT$$
を用いて、ヘリウム分子の 2 乗平均速度 $\sqrt{\overline{v^2}}$ は何 $m/s$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

一辺の長さが $0.20\mathrm{m}$ の立方体の容器に、アルゴン分子が $2.0\times 10^{23}$ 個入っている。アルゴン分子 1 個の質量は $6.6\times 10^{-26}\mathrm{kg}$ で、容器内の気体の圧力は $1.0\times 10^5\mathrm{Pa}$ である。気体は理想気体とみなし、分子どうしの衝突は無視し、分子は容器の壁と弾性衝突をするものとする。また、分子は特定の向きにかたよらず乱雑に運動しているものとする。

このとき、分子の速さの 2 乗の平均値を $\overline{v^2}$ として、$\sqrt{\overline{v^2}}$（2 乗平均速度）は何 m/s か。有効数字 2 桁で求めよ。

質量 $M$、半径 $R$ の球形のガス雲が、自己重力によってまとまって力学的につり合った状態にある。このガス雲の温度を、次の簡単なモデルで見積もる。

• 重力ポテンシャルエネルギー $W$ を求めるときは、ガス雲の密度を一様とみなす。
• 熱運動の運動エネルギーの総和 $K$ を求めるときは、ガス雲全体の温度を一様に $T$ とみなす（$T$ はガス雲の平均的な温度を表す）。
• ガスは単原子分子理想気体とみなし、ガス粒子 1 個の平均質量を $\mu m_H$（$m_H$ は水素原子の質量、$\mu$ は平均分子量）とする。
• $K$ と $W$ の間にはビリアル定理 $2K+W=0$ が成り立つと仮定する。
• 放射圧・自転・磁場・外部からの圧力は無視する。

万有引力定数を $G$、ボルツマン定数を $k_B$ として、このモデルで見積もった温度 $T$ を $G$, $M$, $R$, $\mu$, $m_H$, $k_B$ を用いて表せ。

質量 $M$、半径 $R$ の球形のガス雲が、自身の重力で束縛されて力学的平衡（静水圧平衡）にあり、全体として静止している。ガス雲の密度は一様であり、ガスは平均分子量 $\mu$ の単原子分子理想気体とみなす。すなわち、ガス粒子 1 個の平均質量を $\mu m_{\mathrm{H}}$（$m_{\mathrm{H}}$ は水素原子の質量）とし、ガス雲の中の粒子数は $N=\frac{M}{\mu m_{\mathrm{H}}}$ とする。ガス雲の内部の温度は場所によって違ってもよいが、粒子 1 個あたりの熱運動の運動エネルギーをガス雲全体で平均したものを $\frac{3}{2}{k}_{\mathrm{B}}\bar{T}$ と書いて、平均温度 $\bar{T}$ を定める。

回転・磁場・放射圧・外部からの圧力は無視し、ビリアル定理が成り立つものとする。万有引力定数を $G$、ボルツマン定数を $k_{\mathrm{B}}$ として、$\bar{T}$ を $G$, $M$, $R$, $\mu$, $m_{\mathrm{H}}$, $k_{\mathrm{B}}$ を用いて表せ。

半径 $r$ の球形の容器の中に、質量 $m$ の単原子分子が $N$ 個入っている。分子はどれも同じ速さ $v$ で運動し、容器の内壁と弾性衝突をくり返す。分子どうしの衝突と重力は無視する。

ある 1 個の分子に注目すると、この分子は壁に衝突するたびに、衝突点と球の中心を結ぶ直線に対して入射角と同じ角度ではね返る。そのため、この分子が壁に衝突するときの、速度と「衝突点と中心を結ぶ直線」とのなす角は、つねに同じ値 $\theta$（$0\leqq \theta <\frac{\pi }{2}$）である。$\theta$ の値は分子ごとに異なってよい。

$N$ 個の分子が容器の内壁に及ぼす力の時間平均が内壁の全面に一様にはたらくものとして、容器内の気体の圧力 $p$ を、$N$, $m$, $v$, $r$ を用いて表せ。

断面積 $S$ の円筒形のシリンダーを水平に置き、左端を閉じた底とし、右側をなめらかに動くピストンでふさぐ。シリンダーの中には、質量 $m$ の単原子分子 $N$ 個からなる理想気体が入っている。シリンダーの軸に沿って右向きに $x$ 軸をとる。

いま、ピストンを右向きに一定の速さ $u$ でゆっくり引き出している。ある瞬間の底からピストンまでの距離を $L$ とし、この瞬間の気体の絶対温度を $T$ とする。次の仮定をおく。

• 分子は壁やピストンと弾性衝突し、分子どうしは衝突しない。重力は無視する
• ピストンと衝突するとき、ピストンに対する分子の相対速度の $x$ 成分は、向きが逆になり大きさは変わらない
• $u$ は分子の速度の $x$ 成分の大きさに比べて十分小さく、$u$ の 2 乗を含む項は無視できる。また、考える短い時間のあいだ $L$ は一定とみなしてよい
• 分子の運動はどの向きにもかたよりがなく、分子 1 個あたりの運動エネルギーの平均は $\frac{3}{2}kT$（$k$ はボルツマン定数）である

ピストンとの衝突によって、気体分子の運動エネルギーの総和は単位時間あたりにいくら減少するか。$N$、$k$、$T$、$u$、$L$ を用いて表せ。

断面積 $S$ の円筒形のシリンダーが、中心軸を水平な $x$ 軸に平行にして置かれている。シリンダーの左端は閉じており、右側はピストンでふさがれている。中には質量 $m$ の単原子分子が $N$ 個入っている。シリンダーの閉じた端からピストンまでの距離を $L$ とし、すべての分子の運動エネルギーの和を $K$ とする。分子の運動の向きにはかたよりがなく、分子どうしの衝突と重力は無視する。

いま、ピストンを $x$ 軸の正の向き（シリンダーの外向き）に一定の小さな速さ $u$ で動かす。分子とピストンの衝突は、ピストンとともに動く観測者から見て弾性衝突であり、ピストンの速さ $u$ は分子の速さに比べて十分小さいので、$u^2$ を含む項は無視できる。また、考える短い時間の間は $L$ と分子の速さの分布の変化は無視でき、分子の運動の向きのかたよりのなさは保たれるものとする。シリンダーの閉じた端やほかの内壁は動かず、分子はそれらと弾性衝突をする。

このとき、分子がピストンに衝突することによって、$K$ が単位時間あたりに減少する量を、$K$, $u$, $L$ を用いて表せ。