容積 の密閉容器に気体が入っている。気体の温度は 、圧力は である。この気体を理想気体とみなし、気体定数を 、絶対温度を （ はセルシウス温度）とする。容器内の気体の物質量は何 mol か。有効数字 2 桁で求めよ。
気体の状態方程式
を使って物質量・圧力・体積・温度を求め、つながった容器では物質量の和が保存されることを使って混合後の圧力を求められる
前提
- ボイル・シャルルの法則 （高校物理 熱と気体）
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- 重力と力の大きさ （中学理科 力のはたらき）
- 2 力のつり合いと作用・反作用 （中学理科 力のはたらき）
- 大気圧による力 （中学理科 天気とその変化）
- 小数の四則計算 （算数 計算と数のきまり）
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- 小数と分数のまじった計算 （算数 計算と数のきまり）
- 逆算（□ を求める） （算数 計算と数のきまり）
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- 正負の数の乗除・累乗と四則混合 （中学数学 数と式）
- 分配法則を使った計算のくふう （算数 計算と数のきまり）
- 文字式の計算（同類項・分配法則） （中学数学 数と式）
- 1 次方程式の解き方 （中学数学 方程式）
- 比例・反比例の式とグラフ （中学数学 関数）
- ボイル・シャルルの法則 （高校物理 熱と気体）
説明
気体の状態方程式 は、気体の圧力 ・体積 ・絶対温度 と、気体の量である物質量 （mol）を一つの式で結びつけます。この式がどんな条件でも厳密に成り立つと考えた気体を理想気体といいます。実在の気体も、常温・常圧に近い状態ではこの式でよく表せます。ボイル・シャルルの法則は気体の量が変わらないときにしか使えませんが、状態方程式を使うと、気体の量そのものを求めたり、量が変わる場面を扱ったりできます。たとえば、2 つの容器をコックでつないで気体を混ぜたときの圧力を求めるのに使います。
なぜそうしてよいのか
ボイル・シャルルの法則によると、量が一定の気体では が一定です。では、この一定の値は気体の量とどう関係するでしょうか。同じ圧力・同じ温度の気体を 2 倍の量にすると、体積も 2 倍になります（同じ状態の気体を 2 つ並べて仕切りを外したと考えればわかります）。つまり と が同じなら は物質量 に比例するので、 も に比例します。その比例定数を と書くと 、すなわち が得られます。ボイル・シャルルの法則が厳密に成り立つのは理想気体なので、この式も理想気体について成り立つ式です。
の値は、「0℃（）、 で 1 mol の気体は を占める」ことから、 と決まります。 は気体定数とよばれ、理想気体とみなせる気体であれば、気体の種類によらず同じ値です。
気体どうしは化学変化しなければ、混ぜても分子の数は増えも減りもしません。そのため、つながった容器で混ぜる前と後で「物質量の和が等しい」という式が立ちます。各気体の物質量を で表せば、混合後の圧力が求められます。
手順
温度を絶対温度に直す：（K）。体積・圧力の単位もそろえる（ を使うなら は Pa、 は ）
それぞれの気体（理想気体とみなす）について状態方程式を書く：
求めたい量について解く。物質量なら
容器をつなぐ問題では、つなぐ前の物質量の和とつないだ後の物質量が等しいとおく：
温度が等しい場合は と が両辺で約分でき、 から を求める
例題
容積 の容器 A に圧力 の気体が、容積 の容器 B に圧力 の気体が入っており、どちらも温度は である。A と B は容積の無視できる細い管でつながれ、管の途中のコックは閉じている。コックを開いて十分に時間がたった後の圧力は何 Pa か。気体は理想気体とし、温度は のまま変わらず、気体どうしは化学変化しないものとする。気体定数を とする。有効数字 2 桁で答えよ。
例題の解答
手順 1：絶対温度は 。A・B・混合後の温度はすべて同じ である。
手順 2・3：気体は理想気体なので状態方程式が使える。A の物質量は 、B の物質量は 。混合後の圧力を とすると、気体は A と B 全体（体積 ）に広がるので、全体の物質量は 。
手順 4：分子の数は変わらないので ：
手順 5：温度が等しいので両辺に をかけて 。体積の単位は両辺でそろっていれば L のままでよい：
答え:
よくある誤り
セルシウス温度のまま として に入れてしまう誤り。正しくは絶対温度 を使う。
を使うのに体積を L のまま入れてしまう誤り。例えば 、、 の気体は、正しくは として となる（L のままだと 1000 倍の値になる）。
混合後の圧力を、圧力の和 や単純な平均 としてしまう誤り。保存されるのは圧力ではなく物質量なので、正しくは （温度が等しいとき）から求める。
混合後の体積を元の容器の体積 だけとしてしまう誤り。コックを開くと気体は両方の容器に広がるので、正しくは混合後の体積は である。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
密閉容器に入った気体 容積 の密閉容器に、理想気体 が入っている。気体の温度は である。気体定数を とし、絶対温度 とセルシウス温度 の関係を とする。このとき、容器内の気体の圧力は何 か。有効数字 2 桁で求めよ。
理想気体 容積なめらかに動くピストンのついたシリンダーに、理想気体 が閉じこめられている。気体の温度は 、圧力は である。気体定数を とし、絶対温度 とセルシウス温度 の関係を とする。このとき、気体の体積は何 か。有効数字 2 桁で求めよ。
ピストン気体の圧力は
この技能を使う問題
実在気体のずれの大きさは、圧縮率因子 （: 圧力、: 体積、: 物質量、: 気体定数、: 絶対温度）で表される。理想気体では である。
容積 の鋼鉄製ボンベに二酸化炭素が入っており、温度 で圧力は であった。この状態の二酸化炭素の圧縮率因子は である。
このボンベの弁を開き、温度を に保ったまま、ボンベ内の圧力が になるまで二酸化炭素を外に出してから弁を閉じた。出した二酸化炭素をすべて集め、、 のもとで体積を測ると何 L になるか。有効数字 2 桁で求めよ。
ただし、、 の二酸化炭素は理想気体とみなせる（）ものとし、ボンベの容積は圧力によって変化しないものとする。
亜鉛に希硫酸を加えて発生させた水素を、水上置換でメスシリンダーに捕集した。メスシリンダーの内側の水面と外側の水槽の水面の高さをそろえて体積を測ったところ、捕集した気体の体積は であった。このときの温度は 、大気圧は であった。
捕集した水素の物質量は何 mol か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、 における水の飽和蒸気圧を 、気体定数を 、 を とし、気体は理想気体とみなす。また、水素の水への溶解は無視する。
内容積 の容器を真空にし、エタノール （液体） を入れて密閉し、温度を に保った。十分に時間がたったあと、容器内に液体として残っているエタノールの質量は何 g か。有効数字 2 桁で求めよ。
ただし、 におけるエタノールの飽和蒸気圧は 、原子量は 、、、気体定数は とし、 は とする。エタノールの蒸気は理想気体とみなし、液体のエタノールの体積は無視する。
水平に置いたシリンダーに、なめらかに動く軽いピストンで単原子分子理想気体が閉じこめられている。シリンダーの外は大気で、大気圧は で一定である。シリンダー内の気体に、ヒーターでゆっくりと の熱を与えたところ、ピストンは外向きにゆっくり動いた。この間、気体の圧力はつねに大気圧に等しかったものとする。シリンダーとピストンを通しての熱の出入りはなく、ヒーターの体積は無視できる。
単原子分子理想気体の内部エネルギーは、物質量を 、気体定数を 、絶対温度を として で表される。熱を与える前後で、気体の体積は何 増加したか。有効数字 2 桁で求めよ。
気体ヒーターピストンが動く向き大気ピストンは軽く、なめらかに動く 容積 の容器 と容積 の容器 が、コックのついた細い管でつながれている。はじめコックは閉じていて、容器 には圧力 、容器 には圧力 の同じ種類の理想気体が入っており、どちらの温度も である。
コックを開いて十分に時間がたってから、容器 , 全体の温度をゆっくりと にした。このときの気体の圧力は何 Pa か。有効数字 2 桁で求めよ。
ただし、容器の容積は温度によって変わらず、管の容積は無視できるものとする。また、絶対温度 とセルシウス温度 の関係は とする。
コックコックを開く前のようす 水素プラズマ（電子と 1 価の陽子だけからなる）が、磁束密度の大きさ の磁場中に閉じ込められている。プラズマは電気的に中性で、電子密度とイオン密度はともに である。電子とイオンはともに理想気体とみなし、電子温度とイオン温度は等しい値 とする。
プラズマの圧力 （電子とイオンの圧力の和）と磁気圧の比であるベータ値を
で定義する。 のとき、温度 をエネルギー単位で表した値 は何 か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、真空の透磁率を 、 とする。mol の 2 原子分子理想気体（定積モル比熱 、 は気体定数）が、なめらかに動くピストンのついたシリンダーに入っている。はじめの状態は体積 、絶対温度 である（）。この気体を、圧力 が体積 に比例する関係 （ は正の定数）を保ちながら準静的に変化させ、体積を にした。
この過程で気体が外部から吸収した熱量 を、 を用いて表せ。
炭素・水素・酸素だけからなる純粋な有機化合物 について、次の実験結果を得た。
1. を酸素中で完全燃焼させた。生じた二酸化炭素と水をすべて吸収させて質量をはかったところ、 は 、 は であった。
2. 電子イオン化質量スペクトルでは、分子イオンピーク（最も軽い同位体だけからなる分子イオン）が に現れた。
3. を白金触媒を用いて水素化した。この条件では、分子中のすべての 結合（、、、芳香環の 結合を含む）が完全に飽和される。水素化分解や開環などの副反応は起こらないものとする。このとき吸収された水素の体積は、、 で であった。原子量を 、、、気体定数を 、 とし、水素は理想気体とみなす。 の 1 分子に含まれる環の数を整数で求めよ。
硫酸ニッケル(II)を含むめっき浴を用いて、面積 の金属板（陰極）にニッケルめっきを行った。一定電流 で 分間電解したところ、陰極からは水素も発生し、その水素を集めると 、 で体積 （乾燥気体としての値）であった。
陰極で起こる反応は次の 2 つだけとする。
析出したニッケルは陰極の片面（面積 ）に均一な厚さで付着したものとする。ファラデー定数 、気体定数 、 のモル質量 、ニッケルの密度 とし、水素は理想気体とみなす。
析出したニッケル層の厚さは何 か。有効数字 3 桁で求めよ。
硫酸ニッケル(II)を含む酸性のめっき浴を用いて、金属板の表面にニッケルを電析させる。陰極では次の 2 つの反応だけが起こるものとする。
予備実験として、一定電流 で 分間電解した。陰極で発生した水素を捕集して乾燥させたところ、、 で体積は であった。
次に、縦 、横 の薄い金属板の両面（合計面積 ）に、厚さ の均一なニッケル層を、同じ一定電流 で電析させたい。ニッケル析出の電流効率は予備実験と同じであるとする。必要な電解時間は何分か。有効数字 3 桁で求めよ。
ただし、ファラデー定数 、気体定数 、 の原子量 、ニッケルの密度 とし、水素は理想気体とみなす。板の側面への析出は無視する。
なめらかに動くピストンのついたシリンダーに、物質量 の単原子分子理想気体が閉じこめられている。この気体の状態を、次の 4 つの過程からなるサイクル で変化させる。圧力 、体積 は正の定数とする。
- ：体積を に保ったまま、圧力を から にする。
- ：圧力を に保ったまま、体積を から にする。
- ：体積を に保ったまま、圧力を から にする。
- ：圧力を に保ったまま、体積を から にする。
単原子分子理想気体の定積モル比熱は 、定圧モル比熱は （ は気体定数）とする。このサイクルを熱機関とみなしたとき、熱効率 （1 サイクルで気体が外部にした正味の仕事を、1 サイクルで気体が吸収した熱量の和で割ったもの）を分数で求めよ。
容積 の密閉容器を真空にし、窒素 と水 を入れて、温度を に保った。十分に時間がたったあとの容器内の全圧は何 Pa か。有効数字 2 桁で求めよ。
ただし、 における水の飽和蒸気圧は 、原子量は 、、気体定数は とし、絶対温度は とする。気体はすべて理想気体とみなし、液体の水の体積と、窒素の水への溶解は無視できるものとする。
容積 の密閉容器に五塩化リン を だけ入れ、温度を に保ったところ、 の一部が三塩化リン と塩素 に解離する次の反応が平衡に達し、容器内の全圧は になった。
におけるこの反応の濃度平衡定数 は何 か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、気体定数を とし、物質はすべて気体として存在し、理想気体とみなせるものとする。内容積 の密閉容器に、プロパン と酸素 だけを入れた。この混合気体に点火してプロパンを完全燃焼させたのち、容器内の温度を に保った。
このとき、容器内の気体の全圧は何 Pa か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、プロパンは完全燃焼して二酸化炭素と水だけを生じ、生じた水は においてすべて気体として存在するものとする。気体定数は 、 は とし、気体はすべて理想気体とみなす。容器の内容積は変化しないものとする。
内容積 の密閉容器の内部を真空にし、エタノール の液体 を入れて、温度を に保った。十分に時間がたったとき、容器内に液体として残っているエタノールの質量は何 g か。有効数字 2 桁で求めよ。
ただし、 におけるエタノールの飽和蒸気圧は 、原子量は , , 、気体定数は 、 は とする。エタノールの蒸気は理想気体とみなし、液体のエタノールの体積は無視できるものとする。
内容積 の密閉容器の内部を真空にし、水 を入れて温度を に保ったところ、水はすべて蒸発した。その後、容器を冷却して温度を に保ち、十分に時間をおいた。
このとき、容器内で凝縮して液体になっている水の質量は何 g か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、水の飽和蒸気圧は で 、 で とし、原子量は , 、気体定数は 、 は とする。水蒸気は理想気体とみなし、液体の水の体積は無視できるものとする。
内容積 の密閉容器に、ヘリウム とアルゴン だけからなる混合気体が入っている。温度は 、全圧は で、混合気体の質量の合計は であった。
この混合気体中のアルゴンの分圧は何 Pa か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、原子量は , 、気体定数は 、 は とし、気体はすべて理想気体とみなす。
容積 の容器 と容積 の容器 が、コックのついた細い管でつながれている。はじめコックは閉じており、 には圧力 、 には圧力 の同じ種類の理想気体が入っていて、どちらの温度も であった。
コックを開いて十分に時間がたった後、コックを開いたまま、、 全体の温度を にした。
このときの容器内の気体の圧力は何 か。有効数字 2 桁で答えよ。ただし、管の容積と容器の容積の温度による変化は無視し、気体はもれないものとする。
コック窒素 は、圧力 の窒素に接している水 に、 では 、 では 溶ける。
で、圧力 の窒素だけに接している水 があり、窒素は溶解平衡に達している。この水を、圧力 の窒素だけに接した状態に移し、温度を にして再び溶解平衡に達するまで置いた。このとき水から出ていった窒素の体積は、、 で何 mL か。有効数字 2 桁で求めよ。
ただし、窒素は理想気体とみなし、ヘンリーの法則が成り立つものとする。水の体積変化と蒸発（水蒸気圧）は無視し、水に接している窒素の量は十分に多く、その圧力は変わらないものとする。気体定数は 、絶対温度は とする。
ピストン付きの容器に四酸化二窒素 だけを入れ、温度を [K] に保ったところ、次の平衡が成り立った。
このとき、容器内の全圧は で、はじめに入れた の が に変化していた。次に、温度を [K] に保ったままピストンを押して容器の体積を小さくしたところ、新しい平衡に達したときの全圧は になった。新しい平衡に達したときの容器の体積は、はじめの平衡のときの体積の何倍か。分数で答えよ。
ただし、気体はすべて理想気体とみなし、容器内には と 以外の物質はなく、液体は生じないものとする。
の過酸化水素水 に少量の触媒を加え、温度を に保つと、次の分解反応が進んだ。
この条件で、過酸化水素の分解は一次反応であり、過酸化水素の減少速度は で表され、速度定数は である。触媒を加えた時刻を とする。 から までの間に発生した酸素の体積は、、 で何 L か。有効数字 2 桁で答えよ。
ただし、一次反応の半減期 は で表され、 とする。気体定数は とし、発生した酸素は理想気体とみなし、水に溶けないものとする。また、溶液の体積変化と触媒の量は無視し、温度は一定に保たれるものとする。
内容積 の容器 A と内容積 の容器 B が、コックの付いた細い管でつながれている。はじめコックを開いた状態で、A と B には窒素が入っており、全体の温度は 、圧力は であった。
コックを開いたまま、B の温度を に保ちながら A だけを加熱して に保ったところ、窒素の一部が A から B へ移動し、やがて全体の圧力が一様になって変化しなくなった。このとき、A から B へ移動した窒素の物質量は何 mol か。有効数字 2 桁で求めよ。
ただし、気体定数は 、 は とし、窒素は理想気体とみなす。容器の内容積は温度によって変化せず、細い管の内容積は無視できるものとする。
実在気体の理想気体からのずれは、圧縮率因子 （: 圧力、: 体積、: 物質量、: 気体定数、: 絶対温度）で表される。
内容積 の容器 A と、内容積 の容器 B が、コックの付いた細い管でつながれている。はじめコックを閉じた状態で、A にはある気体 X が圧力 で入っており、B は真空であった。コックを開いて十分に時間がたったところ、全体の圧力は になった。コックを開く前もあとも、温度は に保たれていた。
コックを開いたあとの状態では X は理想気体とみなせる（）とするとき、コックを開く前の A の中の X の圧縮率因子 を、有効数字 2 桁で求めよ。ただし、容器の内容積は変化せず、細い管の内容積は無視できるものとする。また、X はコックを開く前もあとも、すべて気体として存在していたとする。
容積 の密閉容器に一酸化炭素 と酸素 の混合気体を入れたところ、 で全圧が であった。この混合気体に点火して、一酸化炭素をすべて燃焼させ、二酸化炭素 にした。その後、容器を に戻したところ、全圧は になった。
反応前の混合気体に含まれていた一酸化炭素の物質量は何 mol か。有効数字 2 桁で求めよ。
ただし、気体はすべて理想気体とみなし、起こる反応は が になる燃焼だけとする。容器の容積は変化しないものとし、気体定数は 、 は とする。
容積を変えられない密閉容器に、気体を溶かしていない水 を入れ、水面より上の空間（体積 ）を真空にした。この容器に酸素 を 入れ、温度を に保って十分な時間放置したところ、溶解平衡に達した。このときの容器内の酸素の圧力は何 Pa か。有効数字 2 桁で求めよ。
ただし、 で酸素の分圧が のとき、水 に溶ける酸素は であり、酸素の溶解はヘンリーの法則に従うものとする。気体定数は 、 は とし、酸素は理想気体とみなす。水の蒸気圧、酸素の溶解による水の体積変化、水面より上の空間の体積変化は無視する。
なめらかに動くピストンのついたシリンダーに水 を入れ、水の上の空間を酸素 だけで満たした。温度を に保ったところ、気相の体積は 、酸素の圧力は で、酸素の溶解は平衡に達していた。次に、温度を に保ったままピストンを押し込み、気相の体積を にして、再び溶解平衡に達するまで放置した。このとき水に溶けている酸素の質量は何 g か。有効数字 2 桁で求めよ。
ただし、 で酸素の圧力が のとき、水 に溶ける酸素は であり、酸素の溶解はヘンリーの法則に従うものとする。気体は理想気体とみなし、気体定数は 、原子量は とする。水の蒸気圧、水の体積変化、酸素が溶けることによる体積変化は無視する。
内容積が変わらない密閉容器に水 を入れ、水面より上の空間（体積 ）に二酸化炭素 だけを入れて密閉した。容器を に保って十分に時間がたつと、気相の の圧力は になった。
その後、容器全体を に保って十分に時間がたったときの、気相の の圧力は何 か。有効数字 2 桁で求めよ。
ただし、 は圧力 のとき、水 に で 、 で 溶けるものとし、溶解はヘンリーの法則に従うとする。気体定数は 、絶対温度は とする。気体は理想気体とみなし、水の蒸気圧、温度による水と容器の体積変化、 と水の反応による電離は無視する。
この技能の次に学べること
- 気体分子運動論 （高校物理 熱と気体）
- 気体がする仕事と p-V 図 （高校物理 熱と気体）
- 状態方程式と気体の質量・分子量 （高校化学 物質の状態と気体）
- つながれた容器の気体 （高校化学 物質の状態と気体）
- 実在気体の圧縮率因子 （高校化学 物質の状態と気体）
- ビリアル定理 （大学物理 宇宙物理・宇宙論）
- 並進の分配関数 （大学化学 統計熱力学）