プラズマ物理の問題

電子と 1 価の陽イオン（水素イオン）からなる一様なプラズマが、一様な磁場（磁束密度の大きさ $B$）の中に閉じ込められている。プラズマは電気的に中性であり、電子密度とイオン密度はどちらも $n=1.00\times 10^{20}{\mathrm{m}}^{-3}$、電子温度とイオン温度はどちらも $10.0\mathrm{keV}$（すなわち $k_B{T}_e=k_B{T}_i=10.0\mathrm{keV}$）である。電子とイオンはそれぞれ理想気体とみなし、プラズマの圧力は電子の圧力とイオンの圧力の和とする。

プラズマのベータ値を
$$\beta =\frac{p}{B^2/(2{\mu }_0)}$$
で定義する（$p$ はプラズマの圧力、$B^2/(2{\mu }_0)$ は磁気圧）。$\beta =0.0400$ となるために必要な磁束密度の大きさ $B$ は何 T か。有効数字 3 桁で求めよ。

SI 単位系を用い、電気素量を $e=1.602\times 10^{-19}\mathrm{C}$（$1\mathrm{eV}=1.602\times 10^{-19}\mathrm{J}$）、真空の透磁率を ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}H/m$ とする。

一様な真空磁場（磁束密度の大きさ $B_0=2.00\mathrm{T}$）の中に、厚みのある平板状のプラズマが置かれ、磁力線はプラズマの表面に平行である。プラズマは静止した平衡状態にあり、その内部は一様で、電子とイオン（1 価）の密度はどちらも $n=5.00\times 10^{19}{\mathrm{m}}^{-3}$、電子とイオンの温度はどちらも $10.0\mathrm{keV}$ である。プラズマの外側（真空中）の磁束密度の大きさは $B_0$ のまま保たれており、プラズマの内部の磁場もプラズマの表面に平行で一様である。

プラズマの圧力は理想気体の式で与えられるとし、プラズマの内部と外部の間で、気体の圧力と磁気圧 $\frac{B^2}{2{\mu }_0}$ の和がつり合っているとする。プラズマの内部の磁束密度の大きさを $\mathrm{T}$ 単位で有効数字 3 桁で求めよ。ただし、真空の透磁率を ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}H/m$、$1\mathrm{eV}=1.60\times 10^{-19}\mathrm{J}$ とし、プラズマ表面の厚さや磁力線の曲がりによる張力は無視する。

一様な電子-イオンプラズマが熱平衡にあり、電子温度は $k_{\mathrm{B}}{T}_e=5.0\mathrm{eV}$ である。このプラズマのデバイ長は電子の寄与だけで決まるとし（イオンの寄与は無視する）、
$${\lambda }_D=\sqrt{\frac{{\epsilon }_0{k}_{\mathrm{B}}{T}_e}{n_e{e}^2}}$$
で与えられるものとする。ここで $n_e$ は電子密度である。デバイ球（半径 ${\lambda }_D$ の球）の中に含まれる電子の個数
$$N_D=\frac{4\pi }{3}{n}_e{\lambda }_D^3$$
を測定したところ、$N_D=1.0\times 10^4$ であった。このときの電子密度 $n_e$ を、単位を ${\mathrm{m}}^{-3}$ として有効数字 2 桁で求めよ。SI 単位系を用い、真空の誘電率を ${\epsilon }_0=8.85\times 10^{-12}F/m$、電気素量を $e=1.60\times 10^{-19}\mathrm{C}$、$1\mathrm{eV}=1.60\times 10^{-19}\mathrm{J}$ とする。

半径 $b$ の無限に長い完全導体の円筒殻が $z$ 軸を中心軸として置かれている。はじめ円筒の内部は真空で、$z$ 方向を向いた一様な磁場（磁束密度の大きさ $B_0>0$）だけがある。

この円筒の内部の中心に、半径 $a=\frac{b}{2}$ の円柱状のプラズマ（$r<a$）をつくった。つくった後の状態は次のとおりとする。
- プラズマの圧力 $p$ は $r<a$ で一様で、$r>a$ では $0$ である（境界は鋭い）。
- 磁場は $z$ 成分だけをもち、$r<a$ では一様な大きさ $B_i$、$a<r<b$ では一様な大きさ $B_e$ である（どちらも $z$ の正の向き）。
- 系は静的な平衡にあり、プラズマの境界 $r=a$ で「プラズマ圧力と磁気圧の和」が連続である。
- 円筒殻は完全導体なので、円筒の内部を貫く $z$ 方向の全磁束ははじめと変わらない。

プラズマの圧力が $p=\frac{5}{9}\cdot \frac{B_0^2}{{\mu }_0}$ であったとき、プラズマの外側の真空磁場で定義したベータ値
$$\beta =\frac{p}{B_e^2/(2{\mu }_0)}$$
を既約分数で求めよ。ただし ${\mu }_0$ は真空の透磁率で、SI 単位系を用いる。

磁場のない一様な冷たいプラズマがあり、電子密度は $n_e=1.00\times 10^{18}{\mathrm{m}}^{-3}$ である。このプラズマの中を、周波数 $f=15.0\mathrm{GHz}$ のマイクロ波（横波の電磁波）が伝わる。マイクロ波の群速度の大きさを $m/s$ 単位で有効数字 3 桁で求めよ。

ただし、イオンは重いので動かないとし、電子の熱運動と衝突は無視する。電気素量 $e=1.60\times 10^{-19}\mathrm{C}$、電子の質量 $m_e=9.11\times 10^{-31}\mathrm{kg}$、真空の誘電率 ${\epsilon }_0=8.85\times 10^{-12}F/m$、真空中の光速 $c=3.00\times 10^{8}m/s$、$\pi =3.1416$ とする。