プラズマ物理の問題

真空の透磁率を ${\mu }_0$ とし、SI 単位系を用いる。円柱座標 $(r,\phi ,z)$ をとり、半径 $a$ の無限に長い円柱状のプラズマが領域 $r<a$ にあるとする。$r>a$ は真空である。このプラズマは静止した理想 MHD 平衡
$$\nabla p=\mathbf{J}\times \mathbf{B}$$
にあり、圧力 $p$ は $r$ だけの関数で、プラズマの表面で $p(a)=0$ である。

プラズマには $z$ 方向の電流だけが流れており、その電流密度は
$$J_z(r)=J_0\left(1-\frac{r^2}{a^2}\right)(0\le r\le a)$$
である（$J_0>0$ は定数）。この電流の総量は $I$（$I>0$）である。また、外部のコイルによって、プラズマの内外で一様な $z$ 方向の磁場 $B_0\hat{\mathbf{z}}$（$B_0>0$）がかかっている。プラズマには $\phi$ 方向の電流は流れていない。

中心軸上（$r=0$）でのベータ値
$$\beta (0)=\frac{p(0)}{B(0{)}^2/(2{\mu }_0)}$$
を、${\mu }_0,I,a,B_0$ を用いて表せ。ただし $B(0)$ は $r=0$ での磁束密度の大きさである。

円柱座標 $(r,\phi ,z)$ をとる。半径 $a$ の無限に長い円柱状のプラズマ（$r<a$）が $z$ 軸に沿って静止しており、その外側 $r>a$ は真空である。磁場は $z$ 成分だけをもち $\mathbf{B}=B(r)\hat{\mathbf{z}}$ と書け、$r\geqq a$ では一様で $B(r)=B_0$（$B_0>0$）である。プラズマの圧力（電子とイオンの圧力の和）は
$$p(r)=p_0\left(1-\frac{r^2}{a^2}\right)(0\leqq r\leqq a)$$
で、$r>a$ では $p=0$ である。プラズマは理想 MHD の静的平衡 $\mathbf{J}\times \mathbf{B}=\nabla p$, $\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{J}$ を満たすものとし（${\mu }_0$ は真空の透磁率）、$B(r)$ は $r$ について連続で、$0\leqq r\leqq a$ で $B(r)>0$ とする。

外部磁場で測った中心のベータ値を
$${\beta }_0=\frac{p_0}{B_0^2/(2{\mu }_0)}(0<{\beta }_0<1)$$
と定義する。プラズマ柱の断面 $r<a$ を貫く磁束 $\Phi$ と、プラズマがない場合の同じ断面の磁束 $\pi a^2{B}_0$ の比 $\frac{\Phi }{\pi a^2{B}_0}$ を ${\beta }_0$ を用いて表せ。

直交座標 $(x,y,z)$ をとる。厚さ $2a$ の平板状のプラズマが領域 $|x|<a$ にあり、$y,z$ 方向には一様に無限に広がっている。$|x|>a$ は真空である。プラズマは静止した理想 MHD 平衡 $\mathbf{J}\times \mathbf{B}=\nabla p$ にあり、磁場は $z$ 成分だけをもち $x$ だけの関数 $\mathbf{B}=B(x)\hat{\mathbf{z}}$（$B(x)>0$）である。真空領域 $|x|>a$ の磁場は一様で $B(x)=B_0$（$B_0>0$）である。

プラズマの圧力は
$$p(x)=p_0\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)(|x|<a),p(x)=0(|x|\geqq a)$$
であり、中心でのベータ値 ${\beta }_0=\frac{2{\mu }_0{p}_0}{B_0^2}$ は ${\beta }_0=\frac{3}{4}$ である（${\mu }_0$ は真空の透磁率）。

プラズマがない（領域全体の磁場が $B_0$ である）場合と比べて、プラズマの反磁性によって、$xy$ 平面内の帯状の領域 $-a\leqq x\leqq a$、$0\leqq y\leqq 1$ を貫く磁束がどれだけ減少しているか、その減少量を $B_0$ と $a$ を用いて求めよ。ただし $y$ は長さの単位で測るものとし、答えは自然対数を含む正確な形で書くこと。

円柱座標 $(r,\phi ,z)$ をとる。$z$ 軸を中心軸とする半径 $a$ の無限に長い円柱状のプラズマ（$r<a$）が静止した平衡状態にあり、その外側 $r>a$ は真空である（z ピンチ）。プラズマには $z$ 方向の電流が流れ、その電流密度は
$$J_z(r)=J_0\left(1-\frac{r^2}{a^2}\right)(0\le r\le a)$$
（$J_0>0$ は定数）である。磁場はこの電流がつくる $\phi$ 成分 $B_{\phi }(r)$ だけで、外部からかけた磁場はない。

プラズマは理想 MHD の静的平衡 $\nabla p=\mathbf{J}\times \mathbf{B}$ をみたし、圧力 $p(r)$ は $r$ だけの関数で、表面で $p(a)=0$ とする。SI 単位系を用い、真空の透磁率を ${\mu }_0$ とする。

中心軸上の圧力 $p(0)$ を、プラズマ表面での磁気圧 $\frac{B_{\phi }(a{)}^2}{2{\mu }_0}$ と比べた量
$${\beta }_0=\frac{2{\mu }_{0}p(0)}{B_{\phi }(a{)}^2}$$
を、分数で求めよ。

電子と 1 価の陽イオン（水素イオン）からなる一様なプラズマが、一様な磁場（磁束密度の大きさ $B$）の中に閉じ込められている。プラズマは電気的に中性であり、電子密度とイオン密度はどちらも $n=1.00\times 10^{20}{\mathrm{m}}^{-3}$、電子温度とイオン温度はどちらも $10.0\mathrm{keV}$（すなわち $k_B{T}_e=k_B{T}_i=10.0\mathrm{keV}$）である。電子とイオンはそれぞれ理想気体とみなし、プラズマの圧力は電子の圧力とイオンの圧力の和とする。

プラズマのベータ値を
$$\beta =\frac{p}{B^2/(2{\mu }_0)}$$
で定義する（$p$ はプラズマの圧力、$B^2/(2{\mu }_0)$ は磁気圧）。$\beta =0.0400$ となるために必要な磁束密度の大きさ $B$ は何 T か。有効数字 3 桁で求めよ。

SI 単位系を用い、電気素量を $e=1.602\times 10^{-19}\mathrm{C}$（$1\mathrm{eV}=1.602\times 10^{-19}\mathrm{J}$）、真空の透磁率を ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}H/m$ とする。