プラズマ物理の問題

真空の透磁率を ${\mu }_0$ とし、SI 単位系を用いる。円柱座標 $(r,\phi ,z)$ をとり、半径 $a$ の無限に長い円柱状のプラズマが領域 $r<a$ にあるとする。$r>a$ は真空である。このプラズマは静止した理想 MHD 平衡
$$\nabla p=\mathbf{J}\times \mathbf{B}$$
にあり、圧力 $p$ は $r$ だけの関数で、プラズマの表面で $p(a)=0$ である。

プラズマには $z$ 方向の電流だけが流れており、その電流密度は
$$J_z(r)=J_0\left(1-\frac{r^2}{a^2}\right)(0\le r\le a)$$
である（$J_0>0$ は定数）。この電流の総量は $I$（$I>0$）である。また、外部のコイルによって、プラズマの内外で一様な $z$ 方向の磁場 $B_0\hat{\mathbf{z}}$（$B_0>0$）がかかっている。プラズマには $\phi$ 方向の電流は流れていない。

中心軸上（$r=0$）でのベータ値
$$\beta (0)=\frac{p(0)}{B(0{)}^2/(2{\mu }_0)}$$
を、${\mu }_0,I,a,B_0$ を用いて表せ。ただし $B(0)$ は $r=0$ での磁束密度の大きさである。

円柱座標 $(r,\phi ,z)$ をとる。半径 $a$ の無限に長い円柱状のプラズマ（$r<a$）が $z$ 軸に沿って静止しており、その外側 $r>a$ は真空である。磁場は $z$ 成分だけをもち $\mathbf{B}=B(r)\hat{\mathbf{z}}$ と書け、$r\geqq a$ では一様で $B(r)=B_0$（$B_0>0$）である。プラズマの圧力（電子とイオンの圧力の和）は
$$p(r)=p_0\left(1-\frac{r^2}{a^2}\right)(0\leqq r\leqq a)$$
で、$r>a$ では $p=0$ である。プラズマは理想 MHD の静的平衡 $\mathbf{J}\times \mathbf{B}=\nabla p$, $\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{J}$ を満たすものとし（${\mu }_0$ は真空の透磁率）、$B(r)$ は $r$ について連続で、$0\leqq r\leqq a$ で $B(r)>0$ とする。

外部磁場で測った中心のベータ値を
$${\beta }_0=\frac{p_0}{B_0^2/(2{\mu }_0)}(0<{\beta }_0<1)$$
と定義する。プラズマ柱の断面 $r<a$ を貫く磁束 $\Phi$ と、プラズマがない場合の同じ断面の磁束 $\pi a^2{B}_0$ の比 $\frac{\Phi }{\pi a^2{B}_0}$ を ${\beta }_0$ を用いて表せ。

円柱座標 $(r,\phi ,z)$ をとる。$z$ 軸を中心軸とする半径 $a$ の無限に長い円柱状のプラズマ（$r<a$）が静止した平衡状態にあり、その外側 $r>a$ は真空である（z ピンチ）。プラズマには $z$ 方向の電流が流れ、その電流密度は
$$J_z(r)=J_0\left(1-\frac{r^2}{a^2}\right)(0\le r\le a)$$
（$J_0>0$ は定数）である。磁場はこの電流がつくる $\phi$ 成分 $B_{\phi }(r)$ だけで、外部からかけた磁場はない。

プラズマは理想 MHD の静的平衡 $\nabla p=\mathbf{J}\times \mathbf{B}$ をみたし、圧力 $p(r)$ は $r$ だけの関数で、表面で $p(a)=0$ とする。SI 単位系を用い、真空の透磁率を ${\mu }_0$ とする。

中心軸上の圧力 $p(0)$ を、プラズマ表面での磁気圧 $\frac{B_{\phi }(a{)}^2}{2{\mu }_0}$ と比べた量
$${\beta }_0=\frac{2{\mu }_{0}p(0)}{B_{\phi }(a{)}^2}$$
を、分数で求めよ。

半径 $b$ の無限に長い完全導体の円筒殻が $z$ 軸を中心軸として置かれている。はじめ円筒の内部は真空で、$z$ 方向を向いた一様な磁場（磁束密度の大きさ $B_0>0$）だけがある。

この円筒の内部の中心に、半径 $a=\frac{b}{2}$ の円柱状のプラズマ（$r<a$）をつくった。つくった後の状態は次のとおりとする。
- プラズマの圧力 $p$ は $r<a$ で一様で、$r>a$ では $0$ である（境界は鋭い）。
- 磁場は $z$ 成分だけをもち、$r<a$ では一様な大きさ $B_i$、$a<r<b$ では一様な大きさ $B_e$ である（どちらも $z$ の正の向き）。
- 系は静的な平衡にあり、プラズマの境界 $r=a$ で「プラズマ圧力と磁気圧の和」が連続である。
- 円筒殻は完全導体なので、円筒の内部を貫く $z$ 方向の全磁束ははじめと変わらない。

プラズマの圧力が $p=\frac{5}{9}\cdot \frac{B_0^2}{{\mu }_0}$ であったとき、プラズマの外側の真空磁場で定義したベータ値
$$\beta =\frac{p}{B_e^2/(2{\mu }_0)}$$
を既約分数で求めよ。ただし ${\mu }_0$ は真空の透磁率で、SI 単位系を用いる。

$x<0$ の領域は真空で、$x\geqq 0$ の領域には電子密度が
$$n(x)=n_0\frac{x}{L}(x\geqq 0)$$
のように $x$ に比例して増える冷たいプラズマがある（$n_0>0$, $L>0$ は定数）。プラズマに磁場はなく、イオンは重いので静止しているとみなし、衝突は無視する。電子の質量を $m_e$、電気素量を $e$、真空の誘電率を ${\epsilon }_0$、真空中の光速を $c$ とする。このプラズマ中の角振動数 $\omega$ の電磁波（横波）の分散関係は、場所 $x$ での電子プラズマ角振動数 ${\omega }_p(x)=\sqrt{\frac{n(x)e^2}{{\epsilon }_0{m}_e}}$ を使って
$${\omega }^2={\omega }_p(x{)}^2+c^2{k}^2$$
で与えられるとする（$k$ は波数ベクトルの大きさ）。

真空側から、角振動数 $\omega$ の平面電磁波を、$xy$ 面内で $x$ 軸（密度の勾配の向き）と角 $\theta \left(0\leqq \theta <\frac{\pi }{2}\right)$ をなす向きに入射させる。密度の変化は波長に比べて十分ゆるやかで、波は幾何光学（屈折しながら進む光線）で扱えるものとする。波が反射される（光線が $x$ 方向に進まなくなる）位置の $x$ 座標を、${\epsilon }_0$, $m_e$, $\omega$, $\theta$, $L$, $n_0$, $e$ を用いて表せ。