インダクタンスと磁場のエネルギー

磁束 $Φ = L I$ ・ $Φ_{21} = M I_{1}$ から形状に応じた自己・相互インダクタンスを計算し、磁場のエネルギー $\frac{1}{2} L I^{2} = \int \frac{B ^{2}}{2 μ _{0}} d V$ を求められる

前提

磁束の積分と電磁誘導（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
相互誘導とソレノイドのインダクタンス（高校物理電磁気と交流）

この技能までの道筋（90 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
内積となす角（数学C ベクトル）
位置ベクトルと内分点・外分点（数学C ベクトル）
交点の位置ベクトル（数学C ベクトル）
空間ベクトルと直線・平面（数学C ベクトル）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
ベクトル場の線積分（大学数学ベクトル解析）
電流がつくる磁場と磁場の合成（高校物理電磁気と交流）
アンペールの法則と重ね合わせ（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
静電気・放電と電子（中学理科物理分野の用語と知識）
帯電と電気量保存の法則（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
クーロンの法則と電場・電気力線（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
電流の正体と電流の向き（高校物理電流と回路（知識））
オームの法則と抵抗率（高校物理電流と回路（知識））
抵抗の直列接続・並列接続（高校物理電流と回路（知識））
オームの法則と合成抵抗（高校物理電流と回路）
磁束と電磁誘導の法則（高校物理電磁気と交流）
重積分と累次積分（大学数学微分積分）
磁束の積分と電磁誘導（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
オームの法則（中学理科電流と電圧）
電力と電力量（中学理科電流と電圧）
直列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
並列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
電熱線の発熱量と水の温度上昇（中学理科電流と電圧）
熱量と比熱・熱容量（高校物理熱と気体）
実験器具の使い方と安全（中学理科化学分野の用語と知識）
状態変化と粒子・融点・沸点・蒸留（中学理科化学分野の用語と知識）
熱運動と絶対温度（高校物理熱と気体（知識））
電力・電力量とジュール熱（高校物理電流と回路（知識））
電力とジュール熱（高校物理電流と回路）
自己誘導とコイルのエネルギー（高校物理電磁気と交流）
相互誘導とソレノイドのインダクタンス（高校物理電磁気と交流）

説明

コイルや導線に電流 $I$ を流すと、自分自身を貫く磁束（巻数ぶん合計した鎖交磁束） $Φ$ は $I$ に比例し、 $Φ = L I$ の比例定数 $L$ が自己インダクタンスです。別の回路 1 の電流 $I_{1}$ が回路 2 を貫く磁束 $Φ_{21} = M I_{1}$ の比例定数 $M$ が相互インダクタンスです。この技能では、トロイダルコイルや同軸ケーブルのように磁束密度が位置によって変わる形状でも、アンペールの法則で磁場を求め、面で積分して $L$ や $M$ を計算します。さらに、電流を流したコイルが蓄えるエネルギーを $\frac{1}{2} L I^{2}$ と、磁場のエネルギー密度 $\frac{B ^{2}}{2 μ _{0}}$ の体積積分の両方から求められるようになります。

なぜそうしてよいのか

巻数 $N$ のコイルで、1 巻きを貫く磁束を $Φ_{1}$ とすると、誘導起電力は各巻きの和なので $E = - N \frac{d Φ _{1}}{d t}$ です。そこで鎖交磁束 $Φ = N Φ_{1}$ を考えると $E = - \frac{d Φ}{d t}$ と書けます。真空中（または透磁率が一定の物質中）では、アンペールの法則と磁束の積分はどちらも電流について比例の関係にあるので、 $Φ$ は $I$ に比例します。これが $Φ = L I$ で、 $L$ は形と巻数だけで決まります。したがって $L$ を求めるには「電流 $I$ を仮定 → アンペールの法則で $B$ → 面で積分して $Φ_{1}$ → $N$ 倍 → $I$ で割る」とすればよく、 $B$ が一様でなくても積分すれば済みます。相互インダクタンスも同じで、回路 1 の電流が回路 2 の各巻きを貫く磁束を足して $Φ_{21}$ を出し、 $I_{1}$ で割ります。

エネルギーについては、電流を $0$ から $I$ まで増やす間、電源は逆起電力 $L \frac{d i}{d t}$ に逆らって仕事をするので、 $W = \int_{0}^{I} L i d i = \frac{1}{2} L I^{2}$ が蓄えられます。これを磁場の言葉で書き直すため、長さ $l$ ・断面積 $S$ ・巻数 $N$ の長いソレノイド（真空）を考えます。 $B = \frac{μ _{0} N I}{l}$ 、 $L = \frac{μ _{0} N ^{2} S}{l}$ なので
$\frac{1}{2} L I^{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{μ _{0} N ^{2} S}{l} I^{2} = \frac{1}{2 μ _{0}} (\frac{μ _{0} N I}{l})^{2} S l = \frac{B ^{2}}{2 μ _{0}} \times (体積)$
となります。つまり、エネルギーは磁場のある空間に単位体積あたり $\frac{B ^{2}}{2 μ _{0}}$ ずつ蓄えられていると見なせます。一般の形状でも $\frac{1}{2} L I^{2} = \int \frac{B ^{2}}{2 μ _{0}} d V$ が成り立つので、逆に磁場のエネルギーを積分して $L = \frac{2 W}{I ^{2}}$ から $L$ を求めることもできます。

手順

コイル（回路）に電流 $I$ を仮定し、対称性に合った閉曲線でアンペールの法則 $\oint B \cdot d l = μ_{0} I_{内}$ を使って、位置ごとの磁束密度 $B$ を求める
1 巻きの面（相互インダクタンスなら相手の回路の 1 巻きの面）を貫く磁束 $Φ_{1} = \int B d S$ を、 $B$ の変わる向きに沿って積分して求める
巻数を掛けて鎖交磁束 $Φ = N Φ_{1}$ を求め、 $L = \frac{Φ}{I}$ （相互なら $M = \frac{Φ _{21}}{I _{1}}$ ）とする
エネルギーが必要なら $W = \frac{1}{2} L I^{2}$ を計算するか、 $W = \int \frac{B ^{2}}{2 μ _{0}} d V$ を磁場のある全領域で積分する。両者が一致することで検算できる

例題

真空中に、内半径 $a$ 、外半径 $b$ 、高さ $h$ の長方形断面をもつドーナツ形の芯（透磁率は真空と同じ $μ_{0}$ ）があり、導線が一様に $N$ 回巻かれたトロイダルコイルになっている。磁場はコイルの内部だけにあるとする。このコイルの自己インダクタンス $L$ を求めよ。

例題の解答

【手順 1】電流 $I$ を流す。対称軸からの距離 $r$ （ $a < r < b$ ）の円をコイルの内部にとってアンペールの法則を使うと、この円を貫く電流は $N I$ なので
$B \cdot 2 π r = μ_{0} N I より B = \frac{μ _{0} N I}{2 π r}$

【手順 2】1 巻きの面は、 $a \leq r \leq b$ 、高さ $h$ の長方形である。 $B$ は $r$ だけで変わるので、幅 $d r$ ・高さ $h$ の細い帯に分けて積分すると
$Φ_{1} = \int_{a}^{b} \frac{μ _{0} N I}{2 π r} h d r = \frac{μ _{0} N I h}{2 π} lo g \frac{b}{a}$

【手順 3】鎖交磁束は $Φ = N Φ_{1} = \frac{μ _{0} N ^{2} I h}{2 π} lo g \frac{b}{a}$ なので
$L = \frac{Φ}{I} = \frac{μ _{0} N ^{2} h}{2 π} lo g \frac{b}{a}$

【手順 4】（検算）体積要素 $d V = 2 π r h d r$ を使うと
$\int \frac{B ^{2}}{2 μ _{0}} d V = \int_{a}^{b} \frac{1}{2 μ _{0}} (\frac{μ _{0} N I}{2 π r})^{2} 2 π r h d r = \frac{μ _{0} N ^{2} I ^{2} h}{4 π} lo g \frac{b}{a}$
で、これは $\frac{1}{2} L I^{2}$ と一致する。

答え: $\frac{μ _{0} N ^{2} h}{2 π} lo g \frac{b}{a}$

よくある誤り

1 巻きを貫く磁束 $Φ_{1}$ をそのまま $I$ で割ってしまう誤り。 $Φ = L I$ の $Φ$ は巻数ぶん合計した鎖交磁束で、正しくは $L = \frac{N Φ _{1}}{I}$ 。例題で $N$ を 1 つ落とすと $\frac{μ _{0} N h}{2 π} lo g \frac{b}{a}$ となり誤り
磁束密度が位置によって変わるのに、代表の値（例えば中心半径での $B$ ）に面積を掛けて $Φ_{1} = B \cdot (b - a) h$ としてしまう誤り。 $B \propto \frac{1}{r}$ なので $Φ_{1} = \int_{a}^{b} B (r) h d r$ と積分する。近似が許されるのは $b - a ≪ a$ のときだけである
磁場のエネルギーを、体積要素を付けずに $\int \frac{B ^{2}}{2 μ _{0}} d r$ としたり、係数を落として $\int \frac{B ^{2}}{μ _{0}} d V$ としてしまう誤り。正しくは $W = \int \frac{B ^{2}}{2 μ _{0}} d V$ で、トロイドなら $d V = 2 π r h d r$
2 つのコイルに電流 $I_{1}, I_{2}$ を流したときのエネルギーを $\frac{1}{2} L_{1} I_{1}^{2} + \frac{1}{2} L_{2} I_{2}^{2}$ だけとしてしまう誤り。磁場が重なり合うので相互の項が加わり、正しくは $W = \frac{1}{2} L_{1} I_{1}^{2} + \frac{1}{2} L_{2} I_{2}^{2} + M I_{1} I_{2}$ （ $M$ の符号は互いの磁束が強め合うとき正）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
断面が長方形のトロイダルコイルがある。コイルを巻いた枠は、中心軸からの内半径 $a$ 、外半径 $2 a$ 、高さ $h$ の円環である。この円環の内部のうち、上半分（高さ $\frac{h}{2}$ の部分）は透磁率 $μ$ の一様な磁性体で満たされ、下半分は真空（透磁率 $μ_{0}$ ）である。磁性体と真空の境界面は中心軸に垂直な平面である。円環の全体に導線が $N$ 回、一様に密に巻かれている。導線の太さと、コイルの外への磁場のもれは無視し、磁性体は線形（ $B = μ H$ ）で一様であるとする。
このコイルの自己インダクタンス $L$ を $μ$ , $μ_{0}$ , $N$ , $h$ を用いて表せ。
$a$ $2 a$ $h$ $μ$ $μ_{0}$ 中心軸
中心軸を含む平面で切った断面（灰色が磁性体、上半分と下半分の高さはどちらも $h /2$ ）

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ポインティングベクトルとエネルギー密度（大学物理電磁波と電磁場）
磁気圧とベータ値（大学物理プラズマ物理）