電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導）の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導）

自己インダクタンス $L_{1}$ の一次コイルと、自己インダクタンス $L_{2}$ の二次コイルが、相互インダクタンス $M$ （ $0 < M < L_{1} L_{2}$ ）で結合している。一次コイルの両端を、電圧 $v (t) = V_{0} cos ω t$ （ $V_{0} > 0$ , $ω > 0$ ）の交流電源につなぐ。二次コイルの両端には、抵抗値 $R$ （ $R > 0$ ）を自由に変えられる可変抵抗をつなぐ。コイルの抵抗、電源の内部抵抗、導線の抵抗は無視でき、回路は定常状態にあるとする。

$R$ をいろいろな値に変えたとき、可変抵抗で消費される平均電力の最大値を、 $V_{0}, ω, L_{1}, L_{2}, M$ を用いて表せ。

V_{0} cos ω t

L_{1}

R

L_{2}

M

この問題で使うもの

インダクタンスと磁場のエネルギー（説明と入口の問題）

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ヒント

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ヒント 1

一次側と二次側のそれぞれの閉回路について、相互誘導の起電力を含めたキルヒホッフの電圧則を複素数表示で立て、二次電流の振幅を $R$ の関数として求めよう。

ヒント 2

$I ˙_{1}$ を消去すると $V ˙ = - \frac{1}{M} [L_{1} R + j ω (L_{1} L_{2} - M^{2})] I ˙_{2}$ となる。平均電力は $P = \frac{1}{2} R ∣ I ˙_{2} ∣^{2}$ 。

ヒント 3

$P = \frac{M ^{2} V _{0}^{2} R}{2 ( L _{1}^{2} R ^{2} + ω ^{2} ( L _{1} L _{2} - M ^{2} ) ^{2} )}$ となる。分子と分母を $R$ で割り、相加平均と相乗平均の関係を使って分母の最小値を求めよう。

答えと解説

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\frac{M ^{2} V _{0}^{2}}{4 ω L _{1} ( L _{1} L _{2} - M ^{2} )}

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定常状態なので複素数表示（フェーザー）で考える。電源電圧を $V ˙ = V_{0}$ （ $v = Re [V ˙ e^{j ω t}]$ ）、一次側・二次側の電流をそれぞれ $I ˙_{1}, I ˙_{2}$ とする。コイルの起電力は自己誘導 $L d I / d t$ と相互誘導 $M d I / d t$ の和であり、 $d / d t \to j ω$ と置き換えられるので、キルヒホッフの電圧則から
$V ˙ = j ω L_{1} I ˙_{1} + j ω M I ˙_{2} (1)$
$0 = j ω M I ˙_{1} + (R + j ω L_{2}) I ˙_{2} (2)$
（ $M$ の符号は巻き方と電流の向きの取り方で変わるが、以下で使う $∣ I ˙_{2} ∣$ には影響しない。）

$(2)$ より $I ˙_{1} = - \frac{R + j ω L _{2}}{j ω M} I ˙_{2}$ 。これを $(1)$ に代入すると
$V ˙ = [- \frac{L _{1} ( R + j ω L _{2} )}{M} + j ω M] I ˙_{2} = - \frac{1}{M} [L_{1} R + j ω (L_{1} L_{2} - M^{2})] I ˙_{2} .$
したがって $D = L_{1} L_{2} - M^{2} (> 0)$ とおくと、二次電流の振幅は
$∣ I ˙_{2} ∣ = \frac{M V _{0}}{L _{1}^{2} R ^{2} + ω ^{2} D ^{2}} .$

抵抗で消費される平均電力は、電流の振幅を $I$ として $\frac{1}{2} R I^{2}$ なので
$P = \frac{1}{2} R ∣ I ˙_{2} ∣^{2} = \frac{M ^{2} V _{0}^{2} R}{2 ( L _{1}^{2} R ^{2} + ω ^{2} D ^{2} )} = \frac{M ^{2} V _{0}^{2}}{2 ( L _{1}^{2} R + \frac{ω ^{2} D ^{2}}{R} )} .$

分母の $L_{1}^{2} R + \frac{ω ^{2} D ^{2}}{R}$ は、相加平均と相乗平均の関係から
$L_{1}^{2} R + \frac{ω ^{2} D ^{2}}{R} \geq 2 L_{1}^{2} R \cdot \frac{ω ^{2} D ^{2}}{R} = 2 ω L_{1} D$
であり、等号は $L_{1}^{2} R = \frac{ω ^{2} D ^{2}}{R}$ 、すなわち $R = \frac{ω ( L _{1} L _{2} - M ^{2} )}{L _{1}}$ のときに成り立つ。このとき $P$ は最大で
$P_{m a x} = \frac{M ^{2} V _{0}^{2}}{2 \cdot 2 ω L _{1} D} = \frac{M ^{2} V _{0}^{2}}{4 ω L _{1} ( L _{1} L _{2} - M ^{2} )} .$

（確認: 結合が完全 $M^{2} \to L_{1} L_{2}$ に近づくと、理想変圧器と内部抵抗のない電源の組になり、 $R \to 0$ で電力がいくらでも大きくなるので、 $P_{m a x} \to \infty$ と合う。）

別解

一次側の電圧・電流を複素振幅 $V_{0}, I_{1}$ 、二次側を $I_{2}$ とすると、
$V_{0} = j ω L_{1} I_{1} + j ω M I_{2}$ 、 $0 = j ω L_{2} I_{2} + j ω M I_{1} + R I_{2}$ （ $I_{2}$ の符号の取り方は電力に影響しない）。

二次側から見た等価回路（テブナンの定理）で考える。二次側を開放すると $I_{2} = 0$ なので $I_{1} = V_{0} / (j ω L_{1})$ となり、開放電圧の振幅は $V_{oc} = ω M ∣ I_{1} ∣ = \frac{M}{L _{1}} V_{0}$ 。

電源を短絡して二次側から見た内部インピーダンスは、 $Z_{s} = j ω L_{2} + \frac{ω ^{2} M ^{2}}{j ω L _{1}} = j ω (L_{2} - \frac{M ^{2}}{L _{1}}) = j X$ 、 $X = ω \frac{L _{1} L _{2} - M ^{2}}{L _{1}} > 0$ （純リアクタンス）。

抵抗 $R$ での平均電力は
$P = \frac{1}{2} \frac{V _{oc}^{2} R}{R ^{2} + X ^{2}} = \frac{1}{2} \frac{V _{oc}^{2}}{R + X ^{2} / R}$ 。
相加・相乗平均の関係より $R = X$ のとき最大となり、
$P_{ma x} = \frac{V _{oc}^{2}}{4 X} = \frac{M ^{2} V _{0}^{2} / L _{1}^{2}}{4 ω ( L _{1} L _{2} - M ^{2} ) / L _{1}} = \frac{M ^{2} V _{0}^{2}}{4 ω L _{1} ( L _{1} L _{2} - M ^{2} )}$ 。

検算： $M \to L_{1} L_{2}$ で $X \to 0$ となり $P_{ma x} \to \infty$ になる。これは $R \to 0$ のとき理想変圧器の二次側短絡に相当する極限で、電源からの電流が無限大になることと整合する。また、 $R = X$ のとき一次側入力電力 $\frac{1}{2} V_{0}^{2} Re Z /∣ Z ∣^{2}$ の直接計算とも一致する。このときの抵抗値は $R = ω (L_{1} L_{2} - M^{2}) / L_{1}$ 。

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