電流がつくる磁場と磁場の合成

直線電流 $B = \frac{μ _{0} I}{2 π r}$ 、円形電流の中心 $B = \frac{μ _{0} I}{2 r}$ 、ソレノイド内部 $B = μ_{0} n I$ を使って磁場の大きさを求められる。右ねじの法則で向きを決め、地磁気などほかの磁場とベクトルとして合成して、合成磁場の向き（方位磁針の振れの角など）を求められる

前提

ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）

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算数中学高校大学大学院

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三角比の定義と値（数学I 図形と計量）

説明

電流が流れる導線のまわりには磁場ができます。この技能では、直線電流・円形電流の中心・ソレノイドの内部について磁場の大きさを公式で求め、右ねじの法則で向きを決めます。さらに、地磁気などほかの磁場とベクトルとして足し合わせ、方位磁針がどちらへ何度振れるかを求めます。電流計の原理、方位磁針を使った実験、電磁石の設計などで使います。

なぜそうしてよいのか

磁場は大きさと向きをもつベクトルです。電流がつくる磁場の大きさは実験から次のようにわかっています。どの場合も電流 $I$ に比例し、比例定数として真空の透磁率 $μ_{0}$ （ $μ_{0} = 4 π \times 1 0^{- 7} N/ A^{2}$ ）を使います。長い直線電流では、磁力線は導線を中心とする同心円になります。同じ円の上はどこも導線から同じ距離なので磁場の強さは等しく、導線から離れるほど弱くなります。測ると距離 $r$ に反比例し、 $B = \frac{μ _{0} I}{2 π r}$ と書けます。分母の $2 π r$ は、半径 $r$ の円周の長さだと思うと覚えやすいです。

半径 $r$ の円形電流では、導線のどの部分も中心から同じ距離 $r$ にあり、中心にはどの部分も同じ向きの磁場をつくります。導線全体が中心のまわりを取り囲んで寄与が足し合わさるので、直線電流より強く、 $B = \frac{μ _{0} I}{2 r}$ になります。ソレノイドは円形電流をたくさん重ねたものです。十分に長いソレノイドの内部では各巻きの磁場が同じ向きにそろって足し合わさり、ほぼ一様な磁場になります。強さは 1 m あたりの巻数 $n$ と電流 $I$ だけで決まり、 $B = μ_{0} n I$ です。

向きは右ねじの法則で決めます。右ねじを進める向きに電流を流すと、ねじを回す向きに磁場ができます。いくつかの電流や地磁気が同時にある場所の磁場は、それぞれがつくる磁場をベクトルとして足したものになります（重ね合わせ）。方位磁針の N 極は、その場所の水平方向の合成磁場の向きを指します。そのため、磁場どうしを成分で足して三角比を使えば、振れの角が求まります。

手順

電流の形を見て公式を選び、大きさを求める。長さは m に、巻数は 1 m あたりの値に直しておく。直線電流は $B = \frac{μ _{0} I}{2 π r}$ 、円形電流の中心は $B = \frac{μ _{0} I}{2 r}$ 、ソレノイド内部は $B = μ_{0} n I$ （ $n = \frac{N}{L}$ ）。
右ねじの法則で向きを決める。直線電流では、親指を電流の向きに向けたとき、残りの指が巻く向きが磁場の向き。円形電流とソレノイドでは、指を電流の向きに巻いたとき、親指の向きが中心・内部の磁場の向き。
考えている点に、すべての磁場（電流による磁場・地磁気など）を矢印でかき、東・北などの座標軸を決める。
成分ごとに足して合成磁場を求める。2 つの磁場が直交していれば、大きさは $B = B_{1}^{2} + B_{2}^{2}$ 、向きは $tan θ = \frac{B _{1}}{B _{2}}$ で求める。
方位磁針の N 極は水平方向の合成磁場の向きを指すので、手順 4 の角 $θ$ が北からの振れの角になる。

例題

水平な机の上に方位磁針を置くと、N 極は北を指して静止した。この場所の地磁気の水平分力の大きさは $3.0 \times 1 0^{- 5} T$ である。方位磁針の真上 $0.050 m$ の高さに、十分に長い直線導線を南北方向に水平に張り、南から北の向きに $5.0 A$ の電流を流した。真空の透磁率を $μ_{0} = 4 π \times 1 0^{- 7} N/ A^{2}$ とし、方位磁針の大きさは無視できるものとする。N 極が北から振れた角を $θ$ とするとき、 $tan θ$ を有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順 1（大きさ）：直線電流なので、方位磁針の位置での磁場の大きさは $B = \frac{μ _{0} I}{2 π r} = \frac{4 π \times 1 0 ^{- 7} \times 5.0}{2 π \times 0.050} = 2.0 \times 1 0^{- 5} T$ 。
手順 2（向き）：親指を北（電流の向き）に向けると、指は導線のまわりを巻く。導線の真下ではその向きは西になる。真下にある方位磁針の位置で、電流による磁場は水平で西向きである。
手順 3（図）：方位磁針の位置に、北向きの地磁気の水平分力 $B_{0} = 3.0 \times 1 0^{- 5} T$ と、西向きの電流の磁場 $B = 2.0 \times 1 0^{- 5} T$ をかく。2 つは直交している。
手順 4（合成）：合成磁場は北から西へ角 $θ$ だけ傾いた向きになり、 $tan θ = \frac{B}{B _{0}} = \frac{2.0 \times 1 0 ^{- 5}}{3.0 \times 1 0 ^{- 5}} = 0.666 \dots$ 。
手順 5：N 極は合成磁場の向きを指すので、北から西へ $θ$ だけ振れる。有効数字 2 桁で $tan θ = 0.67$ 。

答え: $0.67$

よくある誤り

円形電流の中心の磁場を、直線電流と同じように $B = \frac{μ _{0} I}{2 π r}$ としてしまう誤り。正しくは $B = \frac{μ _{0} I}{2 r}$ で、分母に $π$ は付かない。
ソレノイドの $n$ に全巻数 $N$ をそのまま入れてしまう誤り。正しくは 1 m あたりの巻数 $n = \frac{N}{L}$ を使う。例：長さ $0.20 m$ に 400 回巻きなら $n = 2.0 \times 1 0^{3} / m$ で、 $B = μ_{0} \times 2.0 \times 1 0^{3} \times I$ 。
直交する磁場の大きさをそのまま足して $B_{1} + B_{2}$ としてしまう誤り。正しくはベクトルとして合成し、 $B_{1}^{2} + B_{2}^{2}$ とする。また、北からの振れの角では $tan θ = \frac{B _{電流}}{B _{地磁気}}$ で、分子と分母を逆にしない。
導線の上側と下側で磁場の向きが逆になることを見落とす誤り。北向きの電流が流れる水平導線では、導線の真下で磁場は西向き、真上で東向きになる。方位磁針を導線の上に置くと、N 極は東へ振れる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

電流が磁場から受ける力（高校物理電磁気と交流）
磁束と電磁誘導の法則（高校物理電磁気と交流）
ビオ・サバールの法則（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
アンペールの法則と重ね合わせ（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））