電磁気と交流の問題

真空中の空間全体に、一様な磁場がかけられている。磁場の向きは一定で、磁束密度の大きさ $B$ は自由に変えられる。点 O から磁場の向きに距離 $L$ だけ離れた位置に、磁場の向きに垂直な平面のスクリーンを置き、O を通り磁場に平行な直線がスクリーンと交わる点を P とする。

質量 $m$、電気量 $q(q>0)$ の荷電粒子を、O から速さ $v$ で、磁場の向きと角 $\theta \left(0<\theta <\frac{\pi }{2}\right)$ をなす向きに打ち出した。粒子がスクリーンに初めて達する点が P となるような $B$ のうち、最小のものを $m$, $v$, $q$, $L$, $\theta$ を用いて表せ。ただし、重力の影響は無視できるものとし、$B>0$ とする。

長さ $l$、断面積 $S$ の細長い円柱形の鉄心に、一次コイル（巻き数 $N_1$）と二次コイル（巻き数 $N_2$）を重ねて一様に巻いた。鉄心の透磁率は $\mu$ で一様とし、一次コイルの電流がつくる磁場は鉄心の内部だけにあって、鉄心の内部で一様であるとする。また、鉄心の内部の磁束はすべて二次コイルの各巻きをつらぬくものとする。

一次コイルの両端は電流を自由に調節できる電源に、二次コイルの両端は抵抗値 $R$ の抵抗につないである。はじめ一次コイルにも二次コイルにも電流は流れていない。一次コイルの電流を $0$ から $I_0$ まで増やし、その後は $I_0$ に保った。十分に時間がたつまでに、二次コイルにつないだ抵抗を通過した電気量の大きさを、$\mu$, $N_1$, $N_2$, $S$, $l$, $I_0$, $R$ を用いて表せ。ただし、二次コイルとそれにつながる導線の抵抗は無視できるものとし、二次コイルの自己誘導も考慮すること。

水平面と角 $\theta \left(0<\theta <\frac{\pi }{2}\right)$ をなす斜面に沿って、2 本の長い平行な金属レールを間隔 $l$ で、斜面の最大傾斜の方向に置いた。レールの上端どうしは抵抗値 $R$ の抵抗でつながれている。この空間全体には、鉛直上向きに磁束密度の大きさ $B$ の一様な磁場がかかっている。

質量 $m$ の金属棒を、レールと垂直になるように（水平に）レールの上にのせ、静かにはなすと、棒はレールと垂直を保ったままレールに沿ってすべり下り、やがて一定の速さになった。この一定の速さを、$m$, $g$, $R$, $B$, $l$, $\theta$ を用いて表せ。ただし、重力加速度の大きさを $g$ とし、金属棒とレールの電気抵抗、金属棒とレールの間の摩擦、回路の自己誘導は無視できるものとする。また、レールは十分に長く、棒はレールから外れないものとする。

真空中で、紙面内に 2 本の平行な直線 ${\ell }_1$, ${\ell }_2$ を距離 $d$ だけ離して引く。${\ell }_1$ と ${\ell }_2$ にはさまれた領域にだけ、紙面に垂直で表から裏の向きに、磁束密度の大きさ $B$ の一様な磁場がかけられている。

質量 $m$、電気量 $q(q>0)$ の荷電粒子を、${\ell }_1$ 上の点 O から、${\ell }_1$ に垂直に、紙面内で磁場の領域に向けて速さ $v$ で入射させた。粒子は磁場の領域を通り抜けて ${\ell }_2$ から出ていき、そのとき粒子の速度の向きは、入射したときの速度の向きから $30^{\circ }$ だけ曲がっていた。$v$ を $m$, $q$, $B$, $d$ を用いて表せ。ただし、重力の影響は無視できるものとする。

水平な机の上に方位磁針を置くと、磁針は南北を向いて静止した。この方位磁針の中心の真上 $5.0\mathrm{cm}$ の位置に、十分に長い直線導線を、水平で南北の方向に張った。導線に南から北の向きに電流を流したところ、方位磁針の N 極は北から $45^{\circ }$ だけ東または西に振れて静止した。導線を流れる電流の大きさは何 A か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、地磁気の水平分力の磁束密度の大きさを $3.0\times 10^{-5}\mathrm{T}$、真空の透磁率を $4\pi \times 10^{-7}N/{\mathrm{A}}^2$ とし、空気の透磁率は真空の透磁率と等しいものとする。また、方位磁針の大きさは $5.0\mathrm{cm}$ に比べて十分小さく、方位磁針の位置での導線の電流による磁場は一様とみなせるものとする。