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電磁気と交流の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル高校物理電磁気と交流

水平面と角 $θ (0 < θ < \frac{π}{2})$ をなす斜面に沿って、2 本の長い平行な金属レールを間隔 $l$ で、斜面の最大傾斜の方向に置いた。レールの上端どうしは抵抗値 $R$ の抵抗でつながれている。この空間全体には、鉛直上向きに磁束密度の大きさ $B$ の一様な磁場がかかっている。

質量 $m$ の金属棒を、レールと垂直になるように（水平に）レールの上にのせ、静かにはなすと、棒はレールと垂直を保ったままレールに沿ってすべり下り、やがて一定の速さになった。この一定の速さを、 $m$ , $g$ , $R$ , $B$ , $l$ , $θ$ を用いて表せ。ただし、重力加速度の大きさを $g$ とし、金属棒とレールの電気抵抗、金属棒とレールの間の摩擦、回路の自己誘導は無視できるものとする。また、レールは十分に長く、棒はレールから外れないものとする。

B

棒

θ

レールに沿った鉛直断面（棒は紙面に垂直に置かれている）

この問題で使うもの

導体棒の終端速度（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（51 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

速さが一定になったとき、斜面に沿った方向の力（重力の成分と、電流が磁場から受ける力の成分）がつり合います。磁場が斜面に垂直ではないことに注意しましょう。

ヒント 2

誘導起電力は、速度の磁場に垂直な成分 $v cos θ$ を使って $V = v B l cos θ$ です。電流が受ける力 $I B l$ は水平向きなので、斜面に沿った成分は $I B l cos θ$ です。

ヒント 3

つり合いの式は $m g sin θ = \frac{v B l cos θ}{R} \cdot B l cos θ$ です。

答えと解説

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\frac{m g R sin θ}{B ^{2} l ^{2} cos ^{2} θ}

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棒がレールに沿って速さ $v$ ですべり下りているとする。

誘導起電力: 棒の速度は斜面に沿った向きで、鉛直上向きの磁場とは垂直ではない。棒の速度を、磁場に垂直な成分（水平成分） $v cos θ$ と、磁場に平行な成分（鉛直成分） $v sin θ$ に分けると、誘導起電力に関係するのは磁場に垂直な成分だけである。棒は水平でその向きも速度の水平成分に垂直なので、誘導起電力の大きさは
$V = (v cos θ) B l$
（回路を貫く磁束の変化で考えても、回路の面積が $Δ t$ の間に $l v Δ t$ 増え、そのうち磁場に垂直な面への射影は $l v Δ t cos θ$ なので同じ結果になる。）抵抗は $R$ だけなので、電流の大きさは
$I = \frac{v B l cos θ}{R}$

電流が磁場から受ける力: 棒（水平）を流れる電流 $I$ は鉛直上向きの磁場と垂直なので、力の大きさは $F = I B l$ で、向きは棒と磁場の両方に垂直な水平方向である。レンツの法則より、この力は棒の運動を妨げる向き、すなわち水平で斜面の内側（斜面を上る側）を向く。この力の斜面に沿った成分は、斜面を上る向きに $F cos θ$ である。

つり合い: 速さが一定になると、斜面に沿った方向の力がつり合う。重力の斜面に沿った成分は下向きに $m g sin θ$ で、摩擦はないので
$m g sin θ = I B l cos θ = \frac{v B ^{2} l ^{2} cos ^{2} θ}{R}$
よって
$v = \frac{m g R sin θ}{B ^{2} l ^{2} cos ^{2} θ}$
（ $F$ の斜面に垂直な成分と重力の斜面に垂直な成分は、レールからの垂直抗力とつり合うので、棒はレールに沿って動き続ける。）

別解

棒が斜面に沿って速さ $v$ で下っているとする。磁場は鉛直上向きなので、棒の速度のうち磁場に垂直な成分は水平成分 $v cos θ$ である（鉛直成分 $v sin θ$ は磁場に平行で起電力に寄与しない）。棒は水平でレールと垂直、棒の長さ方向と速度の水平成分も垂直なので、誘導起電力は
$V = B l v cos θ$
（別の見方：回路を貫く磁束は、回路面積の水平投影 $\times B$ で、棒が $v$ 進むと水平投影面積は $l v cos θ$ ずつ変化する。）

棒とレールの抵抗は無視できるので、電流は $I = \frac{B l v c o s θ}{R}$ 。

棒が磁場から受ける力は、大きさ $I B l$ で、磁場（鉛直）にも棒（水平）にも垂直な水平方向を向き、運動の水平成分を妨げる向き。斜面に沿った成分は $I B l cos θ$ （斜面に沿って上向き）。

一定の速さになったとき、斜面方向の力のつりあいより
$m g sin θ = I B l cos θ = \frac{B ^{2} l ^{2} v cos ^{2} θ}{R}$
$v = \frac{m g R sin θ}{B ^{2} l ^{2} cos ^{2} θ}$

検算：エネルギー保存で確認する。重力の仕事率 $m g v sin θ$ が抵抗の消費電力 $\frac{V ^{2}}{R} = \frac{B ^{2} l ^{2} v ^{2} c o s ^{2} θ}{R}$ に等しいとおくと $v = \frac{m g R s i n θ}{B ^{2} l ^{2} c o s ^{2} θ}$ で一致する。

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