電磁気と交流の問題

難易度 1教科書の例題レベル高校物理電磁気と交流

鉛直な平面内に、2 本の長い平行な金属レールを鉛直に、間隔 $0.50 m$ で固定した。2 本のレールの上端どうしは、抵抗値 $0.50 Ω$ の抵抗でつないである。質量 $0.010 kg$ の導体棒 PQ を、水平にしてレールに垂直に渡す。棒は水平を保ち、レールにふれたまま摩擦なく鉛直方向に動くことができ、レールから離れることはない。

この装置全体に、大きさ $0.40 T$ の一様な磁場がかかっている。磁場の向きは棒 PQ に垂直であり、鉛直上向きから $3 0^{\circ}$ 傾いている（すなわち、磁場は棒に垂直な鉛直面内にあり、鉛直上向きとなす角が $3 0^{\circ}$ である）。

棒を静かにはなすと、棒は落下しながら速さを増し、やがて一定の速さで落下するようになった。このときの棒の速さは何 m/s か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とし、レールと棒の電気抵抗、回路の自己誘導、空気抵抗は無視する。

P

Q

0.50 Ω

0.50 m

正面から見た図棒

B

横から見た図

3 0^{\circ}

左: 正面から見た図、右: 棒の向きから見た図（磁場の向き）

この問題で使うもの

導体棒の終端速度（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（51 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

「導体棒の終端速度」の技能を使う。磁場を、棒の速度（鉛直下向き）に平行な成分と垂直な成分に分け、誘導起電力と電磁力に関係する成分を見きわめる。

ヒント 2

速度に垂直な磁場の成分は $B sin 3 0^{\circ}$ 。誘導起電力は $V = v B sin 3 0^{\circ} \cdot l$ 、電磁力の鉛直成分は $I B sin 3 0^{\circ} \cdot l$ になる。

ヒント 3

$I = \frac{v B l sin 3 0 ^{\circ}}{R}$ より鉛直上向きの電磁力は $\frac{v B ^{2} l ^{2} sin ^{2} 3 0 ^{\circ}}{R}$ 。速さが一定のとき、これが重力 $m g$ とつり合う。

答えと解説

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4.9

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解説を読む

棒の速さを $v$ 、磁場の大きさを $B = 0.40 T$ 、レールの間隔を $l = 0.50 m$ 、抵抗値を $R = 0.50 Ω$ 、 $θ = 3 0^{\circ}$ とする。

1. 磁場を速度に平行な成分と垂直な成分に分ける

棒の速度は鉛直下向きである。磁場（棒に垂直な鉛直面内、鉛直から $3 0^{\circ}$ ）を分解すると
- 鉛直成分（速度に平行）: $B cos θ$
- 水平成分（レールの面に垂直で、速度にも棒にも垂直）: $B sin θ = 0.40 \times \frac{1}{2} = 0.20 T$

速度に平行な成分は、棒が横切らないので誘導起電力を生じない。誘導起電力に関係するのは速度に垂直な成分 $B sin θ$ だけである。

2. 誘導起電力と電流

$V = v B sin θ \cdot l, I = \frac{V}{R} = \frac{v B l sin θ}{R}$

3. 電磁力の鉛直成分

電流 $I$ が磁場から受ける力のうち、
- 水平成分の磁場 $B sin θ$ からは、棒と磁場成分の両方に垂直な向き、つまり鉛直方向に大きさ $I B sin θ \cdot l$ の力を受ける。レンツの法則より、この力は運動（落下）を妨げる向き、すなわち鉛直上向きである。
- 鉛直成分の磁場 $B cos θ$ からは水平方向の力を受けるが、これはレールの面に垂直な向きで、レールからの垂直抗力とつり合うので、鉛直方向の運動には関係しない。

よって鉛直上向きの電磁力は
$F = I B l sin θ = \frac{v B ^{2} l ^{2} sin ^{2} θ}{R}$

4. 一定の速さのときの力のつり合い

速さが一定になると加速度が $0$ なので、鉛直方向の合力は $0$ である（摩擦も空気抵抗もないので、鉛直方向の力は重力と電磁力の鉛直成分だけ）。
$m g = \frac{v B ^{2} l ^{2} sin ^{2} θ}{R} ⟹ v = \frac{m g R}{B ^{2} l ^{2} sin ^{2} θ}$

5. 数値を代入

$v = \frac{0.010 \times 9.8 \times 0.50}{( 0.40 ) ^{2} \times ( 0.50 ) ^{2} \times ( \frac{1}{2} ) ^{2}} = \frac{0.049}{0.16 \times 0.25 \times 0.25} = \frac{0.049}{0.010} = 4.9 m/s$

よって、一定になったときの速さは $4.9 m/s$ である。

別解

棒の速さを $v$ 、レール間隔を $L = 0.50 m$ 、磁場を $B = 0.40 T$ とする。

回路面は、2本のレールと棒を含む鉛直面である。磁場は棒に垂直な鉛直面内にあり、鉛直から $3 0^{\circ}$ 傾いている。そのため磁場の成分は次のように分かれる。
- 鉛直成分 $B cos 3 0^{\circ}$ は回路面内を向くので、磁束を貫かない。
- 水平成分 $B sin 3 0^{\circ} = 0.20 T$ は回路面に垂直で、磁束を貫く。

1. 誘導起電力は、棒が鉛直に速さ $v$ で動くので $V = v L B sin 3 0^{\circ} = v \times 0.50 \times 0.20 = 0.10 v$ (V)。
2. 電流は $I = V / R = 0.10 v /0.50 = 0.20 v$ (A)。
3. 棒が受ける力の大きさは $I L B = I \times 0.50 \times 0.40 = 0.20 I$ で、向きは磁場に垂直である。力は水平から $3 0^{\circ}$ 傾いた向きになるので、鉛直成分は $I L B sin 3 0^{\circ} = 0.10 I$ となる。これは、水平成分の磁場が鉛直方向の力 $I L B sin 3 0^{\circ}$ を与えると考えても同じである。
4. 力の水平成分はレールからの抗力とつりあう。棒はレールから離れないので、水平方向は考えなくてよい。
5. 一定の速さになったとき、鉛直方向の力がつりあうので $m g = 0.10 I = 0.10 \times 0.20 v = 0.020 v$ となる。
6. $m g = 0.010 \times 9.8 = 0.098 N$ より $v = 0.098/0.020 = 4.9 m/s$ 。

検算： $v = 4.9$ のとき $V = 0.49 V$ 、 $I = 0.98 A$ である。鉛直方向の力は $0.98 \times 0.50 \times 0.20 = 0.098 N = m g$ となり、つりあっている。

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