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電磁気と交流の問題

難易度 1教科書の例題レベル高校物理電磁気と交流

水平面と $3 0^{\circ}$ の角をなすなめらかな斜面の上に、2 本の平行な金属レールが斜面の最大傾斜の方向に沿って間隔 $0.40 m$ で固定されている。2 本のレールの上端どうしは $0.20 Ω$ の抵抗でつながれている。この領域全体には、鉛直上向きに磁束密度 $0.50 T$ の一様な磁場がかかっている。

質量 $0.10 kg$ の導体棒を、レールと垂直（水平）になるようにレールの上に置き、静かにはなしたところ、導体棒はレールと垂直な向きを保ったまま、レールに沿って斜面を滑り下り、やがて一定の速さになった。この一定になったときの速さは何 $m/s$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

ただし、重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とし、導体棒とレールのあいだの摩擦、導体棒とレールの電気抵抗、回路を流れる電流がつくる磁場の影響、空気抵抗は無視できるものとする。

導体棒

0.50 T

3 0^{\circ}

レールに沿った断面の図（磁場は鉛直上向き。上端の抵抗は省略）

この問題で使うもの

導体棒の終端速度（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（51 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

技能「導体棒の終端速度」を使う。速さが一定になったとき、斜面に沿った方向の力がつり合う（加速度が $0$ ）ことを使う。

ヒント 2

磁場は鉛直なので、起電力を生むのは速度の水平成分 $v cos θ$ だけで、 $V = v B l cos θ$ となる。電磁力 $I B l$ は水平向きなので、斜面に沿った成分は $I B l cos θ$ になる。

ヒント 3

$I = \frac{v B l cos θ}{R}$ より、斜面上向きの電磁力の成分は $\frac{v B ^{2} l ^{2} cos ^{2} θ}{R}$ 。これが重力の斜面方向の成分 $m g sin θ$ とつり合う式を $v$ について解く。

答えと解説

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3.3

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斜面の傾きを $θ = 3 0^{\circ}$ 、レールの間隔を $l = 0.40 m$ 、磁束密度を $B = 0.50 T$ 、抵抗を $R = 0.20 Ω$ 、導体棒の質量を $m = 0.10 kg$ 、重力加速度の大きさを $g = 9.8 m/ s^{2}$ とし、導体棒の速さを $v$ とする。

1. 誘導起電力（磁場と速度のなす角を考える）
導体棒の速度は斜面に沿って下向きで、鉛直な磁場とは垂直ではない。速度を水平成分 $v cos θ$ と鉛直成分 $v sin θ$ に分けると、鉛直な磁場を横切るのは水平成分 $v cos θ$ だけである（鉛直成分は磁場と平行なので起電力を生まない）。よって誘導起電力の大きさは
$V = (v cos θ) B l$
回路の抵抗は $R$ だけなので、誘導電流は
$I = \frac{V}{R} = \frac{v B l cos θ}{R}$

2. 電磁力の向きと斜面方向の成分
電流は水平な導体棒を流れ、磁場は鉛直なので、電流と磁場は垂直である。よって導体棒が受ける力の大きさは $F = I B l$ で、向きは電流と磁場の両方に垂直、つまり水平である。レンツの法則より、この力は導体棒の運動をさまたげる向き（水平で斜面の上側へ向かう向き）である。この水平な力を斜面に平行な成分と垂直な成分に分けると、斜面に沿って上向きの成分は
$F cos θ = \frac{v B ^{2} l ^{2} cos ^{2} θ}{R}$

3. 力のつり合い（加速度 $0$ ）
速さが一定になったとき、斜面に沿った方向の加速度は $0$ なので、運動方程式より斜面方向の合力は $0$ である。斜面に沿って下向きの重力の成分は $m g sin θ$ なので
$m g sin θ = \frac{v B ^{2} l ^{2} cos ^{2} θ}{R}$
$v = \frac{m g R sin θ}{B ^{2} l ^{2} cos ^{2} θ}$

4. 数値を代入
$sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , $cos^{2} 3 0^{\circ} = \frac{3}{4}$ より
$v = \frac{0.10 \times 9.8 \times 0.20 \times \frac{1}{2}}{( 0.50 ) ^{2} \times ( 0.40 ) ^{2} \times \frac{3}{4}} = \frac{0.098}{0.25 \times 0.16 \times 0.75} = \frac{0.098}{0.030} ≒ 3.27$
よって有効数字 2 桁で $3.3 m/s$ である。

別解

斜面に沿った速さを $v$ とする。磁場は鉛直上向きなので、棒の速度 $v$ （斜面方向、水平面から $3 0^{\circ}$ 下向き）と磁場のなす角を考える。棒は水平で、速度は斜面に沿った方向。磁場に垂直な速度成分は水平成分 $v cos 3 0^{\circ}$ である（鉛直成分は磁場に平行なので起電力に寄与しない）。

起電力は $V = B l v cos 3 0^{\circ}$ 。電流は $I = \frac{B l v cos 3 0 ^{\circ}}{R}$ 。

電流が棒に受ける力の大きさは $F = I B l$ で、向きは磁場（鉛直）と棒（水平）の両方に垂直、すなわち水平方向（速度の水平成分を妨げる向き）。斜面方向の成分は $F cos 3 0^{\circ}$ で斜面上向き。

力のつり合い（斜面方向）: $m g sin 3 0^{\circ} = I B l cos 3 0^{\circ} = \frac{B ^{2} l ^{2} v cos ^{2} 3 0 ^{\circ}}{R}$

$v = \frac{m g R sin 3 0 ^{\circ}}{B ^{2} l ^{2} cos ^{2} 3 0 ^{\circ}}$

数値: $m g sin 3 0^{\circ} = 0.10 \times 9.8 \times 0.5 = 0.49$ N。
$B^{2} l^{2} = 0.25 \times 0.16 = 0.040$ 。 $cos^{2} 3 0^{\circ} = 0.75$ なので $B^{2} l^{2} cos^{2} 3 0^{\circ} = 0.030$ 。

$v = \frac{0.49 \times 0.20}{0.030} = \frac{0.098}{0.030} = 3.266 \dots \approx 3.3$ m/s

検算: $v = 3.267$ のとき、 $V = 0.5 \times 0.4 \times 3.267 \times 0.866 = 0.5658$ V、 $I = 2.829$ A、 $F = I B l = 2.829 \times 0.2 = 0.5658$ N、斜面方向成分 $0.5658 \times 0.866 = 0.49$ N となり、重力成分 $0.49$ N と一致する。

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