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電磁気と交流の問題

難易度 1教科書の例題レベル高校物理電磁気と交流

水平面と $3 0^{\circ}$ の角をなすなめらかな斜面の上に、2 本の平行な導体レールが斜面の最大傾斜の向きに沿って間隔 $0.40 m$ で固定されている。レールの上端どうしは抵抗値 $2.0 Ω$ の抵抗でつながれている。この装置全体には、鉛直上向きで磁束密度の大きさ $0.50 T$ の一様な磁場がかかっている。

質量 $0.030 kg$ の導体棒を、レールと垂直に（水平に）2 本のレールの上に置き、静かにはなした。導体棒はレールと垂直を保ったまま、レールとの摩擦なしに斜面に沿って下向きにすべり出し、やがて一定の速さになった。

重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とし、導体棒とレールの電気抵抗、回路の自己誘導、空気抵抗は無視する。レールは十分に長いものとする。一定になったときの導体棒の速さは何 m/s か。有効数字 2 桁で求めよ。

導体棒

B = 0.50 T

3 0^{\circ}

レールに沿った断面を横から見た図（抵抗はレールの上端にある）

この問題で使うもの

導体棒の終端速度（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（51 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

技能「導体棒の終端速度」を使う。磁場（鉛直）と棒の速度（斜面に沿う向き）のなす角に注意して誘導起電力を求め、速さが一定のときの斜面方向の力のつり合いを考える。

ヒント 2

磁場を垂直に横切る速度の成分は $v cos 3 0^{\circ}$ なので $V = v B l cos 3 0^{\circ}$ 。電磁力 $I B l$ は水平向きなので、斜面方向の成分は $I B l cos 3 0^{\circ}$ になる。

ヒント 3

$I = \frac{v B l cos 3 0 ^{\circ}}{R}$ より、つり合いの式は $m g sin 3 0^{\circ} = \frac{v B ^{2} l ^{2} cos ^{2} 3 0 ^{\circ}}{R}$ 。これを $v$ について解いて数値を代入する。

答えと解説

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9.8

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解説を読む

斜面に沿って下向きに速さ $v$ で動いているときを考える。

1. 誘導起電力
磁場は鉛直上向きで、棒の速度は斜面に沿って下向きなので、速度と磁場は垂直ではない。速度を、磁場に平行な成分（鉛直成分 $v sin 3 0^{\circ}$ ）と磁場に垂直な成分（水平成分 $v cos 3 0^{\circ}$ ）に分けると、磁力線を横切るのは水平成分だけである。よって誘導起電力の大きさは
$V = (v cos 3 0^{\circ}) B l$

2. 誘導電流
棒とレールの抵抗は無視できるので、回路の抵抗は $R$ だけで、オームの法則より
$I = \frac{V}{R} = \frac{v B l cos 3 0 ^{\circ}}{R}$

3. 電磁力の斜面方向の成分
棒（水平）を流れる電流は鉛直な磁場と垂直なので、棒が受ける力の大きさは $I B l$ である。向きは電流と磁場の両方に垂直なので水平で、レンツの法則から棒の運動をさまたげる向き、すなわち斜面の上る側へ向かう水平な向きである。この力を斜面に平行な成分と垂直な成分に分けると、斜面に平行で上向きの成分は
$I B l cos 3 0^{\circ} = \frac{v B ^{2} l ^{2} cos ^{2} 3 0 ^{\circ}}{R}$
（斜面に垂直な成分は垂直抗力とつり合い、斜面方向の運動には関係しない。）

4. 力のつり合い
速さが一定になると加速度が $0$ なので、斜面方向の合力は $0$ である。重力の斜面方向の成分 $m g sin 3 0^{\circ}$ （下向き）と電磁力の成分がつり合うから
$m g sin 3 0^{\circ} = \frac{v B ^{2} l ^{2} cos ^{2} 3 0 ^{\circ}}{R}$
$v = \frac{m g R sin 3 0 ^{\circ}}{B ^{2} l ^{2} cos ^{2} 3 0 ^{\circ}}$

5. 数値を代入
$m = 0.030 kg$ , $g = 9.8 m/ s^{2}$ , $R = 2.0 Ω$ , $B = 0.50 T$ , $l = 0.40 m$ , $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , $cos^{2} 3 0^{\circ} = \frac{3}{4}$ を代入する。
分子: $0.030 \times 9.8 \times 2.0 \times \frac{1}{2} = 0.294$
分母: $(0.50)^{2} \times (0.40)^{2} \times \frac{3}{4} = 0.25 \times 0.16 \times 0.75 = 0.030$
$v = \frac{0.294}{0.030} = 9.8 m/s$

別解

斜面の傾き角を $θ = 3 0^{\circ}$ 、レール間隔を $L = 0.40 m$ 、磁束密度を $B = 0.50 T$ 、抵抗を $R = 2.0 Ω$ 、質量を $m = 0.030 kg$ とする。

磁場は鉛直上向きである。棒の速さを $v$ （斜面に沿う向き）とすると、速度のうち磁場に垂直な成分は水平成分 $v cos θ$ である。

誘導起電力は $V = B Lv cos θ$ である。

電流は $I = \frac{B Lv cos θ}{R}$ である。

棒が電流から受ける力の大きさは $F = I L B$ である。この力は鉛直な磁場と水平な棒の両方に垂直なので、水平方向（斜面の最大傾斜の向きを含む鉛直面内）を向く。その向きは運動をさまたげる側である。斜面に沿った成分は $F cos θ$ である。

一定の速さになったとき、斜面方向の力がつりあう。
$m g sin θ = I L B cos θ = \frac{B ^{2} L ^{2} v cos ^{2} θ}{R}$

よって
$v = \frac{m g R sin θ}{B ^{2} L ^{2} cos ^{2} θ}$

数値を代入する。
分子は $0.030 \times 9.8 \times 2.0 \times 0.5 = 0.294$ である。
分母は $0.25 \times 0.16 \times 0.75 = 0.030$ である。

$v = 0.294/0.030 = 9.8 m/s$

検算： $v = 9.8$ のとき $V = 0.5 \times 0.4 \times 9.8 \times 0.866 = 1.697 V$ となる。 $I = 0.8487 A$ 、 $F = 0.8487 \times 0.4 \times 0.5 = 0.1697 N$ 、 $F cos θ = 0.147 N$ である。 $m g sin θ = 0.294 \times 0.5 = 0.147 N$ で一致する。

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