力の分解と質点のつり合い

重力・張力・垂直抗力を斜面に平行・垂直などの 2 方向に分解し（例: 斜面に平行な成分 $m g sin θ$ 、垂直な成分 $m g cos θ$ ）、静止している物体のつり合いの式から張力や垂直抗力の大きさを求められる

前提

三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））

この技能までの道筋（36 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））

説明

物体にはたらく力を、互いに垂直な 2 方向（斜面に平行・垂直、水平・鉛直など）の成分に分けると、方向ごとに力のつり合いの式を立てられます。静止している物体では合力が $0$ なので、その式から張力や垂直抗力の大きさを求められます。斜面上の物体、糸でつるした物体、斜めの糸で引かれた物体など、力の向きがそろっていない場面で使います。

なぜそうしてよいのか

力はベクトルなので、互いに垂直な 2 つのベクトルの和として表せます。これを力の分解といい、分けた 2 つの力を分力（または成分）とよびます。大きさ $F$ の力がある軸と角 $α$ をなすとき、力を斜辺とする直角三角形を描くと、三角比の定義から、その軸方向の成分は $F cos α$ 、軸に垂直な方向の成分は $F sin α$ になります。

傾きの角が $θ$ の斜面では、斜面に垂直な直線は鉛直線から $θ$ だけ傾いています（斜面を水平から $θ$ 傾けると、それに垂直な直線も鉛直から同じ $θ$ だけ回るため）。したがって鉛直下向きの重力 $m g$ は斜面に垂直な向きと角 $θ$ をなし、斜面に垂直な成分は $m g cos θ$ 、斜面に平行（斜面に沿って下向き）な成分は $m g sin θ$ です。 $θ = 0^{\circ}$ （水平面）では平行成分が $0$ 、垂直成分が $m g$ となり、直観とも合います。

静止している物体では合力のベクトルが $0$ です。ベクトルが $0$ であることは、互いに垂直な 2 つの成分がどちらも $0$ であることと同じなので、「斜面に平行な方向の力の和 $= 0$ 」「斜面に垂直な方向の力の和 $= 0$ 」という 2 本の式を別々に立ててよいのです。

手順

物体にはたらく力（重力 $m g$ 、垂直抗力 $N$ 、張力 $T$ など）をすべて書き出す。
分解する 2 方向を決める。斜面上なら斜面に平行な向きと垂直な向きにとると、多くの力が軸に沿うので計算が楽になる。
軸に沿っていない力を分解する。力と軸のなす角 $α$ を図で確かめ、軸方向の成分 $F cos α$ 、垂直方向の成分 $F sin α$ とする（斜面上の重力なら、平行成分 $m g sin θ$ 、垂直成分 $m g cos θ$ ）。分解した力は、以後その成分だけで扱う。
方向ごとに「一方の向きの力の和 $=$ 反対向きの力の和」というつり合いの式を立てる。
2 本の式を解いて、求める力の大きさを出す。

例題

傾きの角が $θ$ （ $0^{\circ} < θ < 9 0^{\circ}$ ）のなめらかな（摩擦のない）斜面上に、質量 $m$ の小物体を置く。小物体には軽くて伸びない糸がつけてあり、糸は斜面に平行に、斜面の上方に向かって張られていて、小物体は静止している。重力加速度の大きさを $g$ とする。糸の張力の大きさ $T$ と、斜面から受ける垂直抗力の大きさ $N$ を、この順に求めよ。

例題の解答

手順1：小物体にはたらく力は、鉛直下向きの重力 $m g$ 、斜面に垂直で斜面から離れる向きの垂直抗力 $N$ 、斜面に平行で上向きの張力 $T$ の 3 つ（斜面はなめらかなので摩擦力はない）。

手順2：斜面に平行な方向と、斜面に垂直な方向に分けて考える。

手順3： $T$ と $N$ はもともと軸に沿っているので分解は不要。重力は斜面に垂直な向きと角 $θ$ をなすので、斜面に平行で下向きの成分 $m g sin θ$ と、斜面に垂直で斜面に押しつける向きの成分 $m g cos θ$ に分解する。

手順4：斜面に平行な方向：上向きの $T$ と下向きの $m g sin θ$ がつり合うので $T = m g sin θ$ 。斜面に垂直な方向：斜面から離れる向きの $N$ と押しつける向きの $m g cos θ$ がつり合うので $N = m g cos θ$ 。

手順5：よって $T = m g sin θ$ 、 $N = m g cos θ$ 。

答え: $(m g sin θ, m g cos θ)$

よくある誤り

斜面上の重力の成分で $sin$ と $cos$ を取り違え、斜面に平行な成分を $m g cos θ$ としてしまう誤り。正しくは平行成分 $m g sin θ$ 、垂直成分 $m g cos θ$ 。 $θ = 0^{\circ}$ （水平面）で平行成分が $0$ になるかで確かめるとよい。
斜面上でも垂直抗力はいつも $N = m g$ だとしてしまう誤り。正しくは、斜面に垂直な方向のつり合いから $N = m g cos θ$ （斜面に垂直な向きに他の力がない場合）。
重力を分解したのに元の重力 $m g$ も残し、斜面に垂直な方向の式を $N = m g + m g cos θ$ のように立ててしまう誤り。分解した重力は成分 $m g sin θ$ 、 $m g cos θ$ に置きかわったので、元の $m g$ はもう式に入れない。正しくは $N = m g cos θ$ 。
軸に沿っていない力（斜めの糸の張力など）を分解せずにそのまま式に入れたり、無視したりする誤り。例えば水平な床の上で静止している質量 $m$ の物体を、水平と角 $α$ をなす斜め上向きの糸で張力 $T$ で引くとき（水平・鉛直の軸をとる）、鉛直方向の式を $N = m g$ としてしまう。正しくは張力を水平成分 $T cos α$ 、鉛直成分 $T sin α$ に分けてから、鉛直方向で $N + T sin α = m g$ 、すなわち $N = m g - T sin α$ とする。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

運動方程式（高校物理力と運動）
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
力のモーメント（高校物理力と運動）