長さ の棒 AB が水平に置かれていて、端 A を通り紙面に垂直な軸のまわりに回転できる。端 B は A の右側にある。端 B に大きさ の力を、紙面内で、棒を B の先へ延長した向き（右向き）から 上向きに加える。この力の、点 A のまわりの力のモーメントは何 か。紙面内で反時計回りを正の向きとし、符号も含めて有効数字 2 桁で求めよ。
力のモーメント
回転の中心から作用線までの距離（うでの長さ）を使って力のモーメント （斜めの力なら ）を求め、回転の向きで符号をつけられる。一様な棒の重力は中点にはたらくとして扱える
前提
- 力の分解と質点のつり合い （高校物理 力と運動）
- 力のモーメントと偶力 （高校物理 力と運動（知識））
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- 慣性の法則と力のつり合い （高校物理 力と運動（知識））
- 力の分解と質点のつり合い （高校物理 力と運動）
- 力のモーメントと偶力 （高校物理 力と運動（知識））
説明
力のモーメントは、力が物体を回転させようとするはたらきを、大きさと回転の向き（符号）を合わせて 1 つの数で表す量です。回転の中心から力の作用線までの距離（うでの長さ） を使い、 と計算します。棒と斜めの角をなす力では になります。棒やてこのつり合い、ちょうつがいで支えた棒や板などを調べるときに使います。
なぜそうしてよいのか
前提の技能で学んだように、力のモーメントは「力の大きさ 」と「回転の中心 O から作用線までの距離（うでの長さ）」の積です。作用点が O から距離 の位置にあり、O と作用点を結ぶ線分と力の向きのなす角を とします。このとき、O から作用線に下ろした垂線の長さは です。よって となります。力を分解して考えることもできます。力を、O と作用点を結ぶ線に沿った成分 と、それに垂直な成分 に分けます。沿った成分は作用線が O を通るので、うでの長さが で回転させません。回転に効くのは垂直成分だけで、そのうでの長さは です。したがって、やはり になります。
回転の向きは、反時計回りと時計回りの 2 つです。先に一方（たとえば反時計回り）を正と決め、逆向きに回そうとするモーメントには負の符号をつけます。こうすると、いくつもの力のモーメントを足し算でまとめられます。
一様な棒の重力は、棒の各部分にはたらく小さな重力の集まりです。それがまとめて中点にはたらくと考えてよい理由を確かめます。棒を水平に置き、O を原点として棒に沿って右向きに座標 をとります。重力は鉛直下向きで水平な棒に垂直なので、位置 にある重さ の部分のうでの長さは、O からの水平距離 です。反時計回りを正とします。 の部分は時計回りに回そうとするので、モーメントは です。 の部分は反時計回りに回そうとするので、モーメントは です。つまり、O の左右どちら側にあっても、モーメントは と 1 つの式で書けます。ここで は、正負の符号つきの水平距離として扱います。次に、中点の位置を とし、中点から左右に同じ距離 だけ離れた 2 つの部分（位置 と 、重さ ずつ）を組にします。2 つのモーメントの和は
となり、 によりません。これは、重さ を中点に集めたときのモーメントと同じです。符号つきの で計算したので、O が 2 つの部分の間にあっても外側にあっても成り立ちます。棒全体はこのような組に分けられるので、棒の重力 はすべて中点にはたらくとして扱えます。棒が傾いている場合も、各部分の水平座標は中点の水平座標について左右対称に並びます。そのため、うでの長さを水平距離として同じ計算ができ、結論は変わりません。
手順
回転の中心 O を決め、モーメントの正の向き（例：反時計回りを正）を決める。
物体にはたらく力をすべて書き出し、作用点を確かめる。一様な棒の重力 は棒の中点にはたらくとする。O を通る力はモーメントが なので除いてよい。
各力のうでの長さを求める。O から作用点までの距離を 、O と作用点を結ぶ線と力のなす角を とすると、うでの長さは 、モーメントの大きさは である（ なら ）。鉛直な重力なら、うでの長さは O から作用点までの水平距離である。
正の向きに回そうとする力には 、逆向きに回そうとする力には の符号をつける。
必要に応じて、符号つきのモーメントを足し合わせて合計を求める。
例題
長さ 、質量 の一様な棒が水平に置かれ、左端 O をちょうつがいで壁に留められている。棒の右端には軽い糸がつけられ、糸は棒と の角をなして左上向きに張られている。糸の張力の大きさは である。重力加速度の大きさを とする。紙面を正面から見て反時計回りを正とし、O のまわりの、張力と棒にはたらく重力によるモーメントの和を求めよ。
例題の解答
手順1：回転の中心を O とし、反時計回りを正とする。
手順2：はたらく力は、右端（O から距離 ）にはたらく張力 と、中点（O から距離 ）にはたらく重力 である。ちょうつがいから受ける力は O を通るので、モーメントは として除く。
手順3：張力は棒と をなすので、うでの長さは である。よって、モーメントの大きさは となる。重力は鉛直下向きで、水平な棒と をなす。うでの長さは O から中点までの水平距離 なので、大きさは となる。
手順4：張力は上向きの成分をもち、右端を持ち上げるので反時計回りに回そうとする。よって である。重力は O より右にある中点を下げるので、時計回りに回そうとする。よって である。
手順5：和は
答え:
よくある誤り
斜めの力でも、O から作用点までの距離をそのままうでの長さとして としてしまう誤り。正しくは、作用線までの距離 を使って 。
角の測り方を確かめずに を使ってしまう誤り。 が棒と力のなす角なら である。力と「棒に垂直な方向」のなす角 が与えられたときは になる。
一様な棒の重力を棒の端にはたらくとして としてしまう誤り。正しくは、中点にはたらくとして 。
向きを考えずに大きさだけを足して としてしまう誤り。正しくは、回転の向きが逆のモーメントに負の符号をつけて 。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
長さ の軽い棒 が水平に置かれている。 が左端、 が右端であり、棒は を通り紙面に垂直な軸のまわりに、紙面内でなめらかに回転できる。端 に、大きさ の力を紙面内で加える。力の向きは右斜め下向きで、棒の延長（ から へ向かう向き）と の角をなす。
紙面上で反時計回りを正とするとき、点 のまわりのこの力のモーメントを、単位を として求めよ。
長さ 、質量 の一様な細い棒 がある。棒の端 は、 を通り紙面に垂直な水平な軸のまわりに、なめらかに回転できるように取りつけられている。棒は紙面内にあり、端 が より右上にあって、棒が水平と の角をなしている。重力加速度の大きさを とする。
このとき、軸 のまわりの、棒にはたらく重力のモーメントを求めよ。ただし、紙面内で反時計回りの向きを正とし、単位を として有効数字 桁で答えよ。
重力
この技能を使う問題
長さ 、質量 の一様な棒 PQ を水平にし、左端 P と、P から右へ の点 R の 2 か所で、それぞれ下から支えた。さらに、右端 Q に軽い糸で質量 のおもりをつるしたところ、棒は水平のまま静止した。点 R で棒が支えから受ける力の大きさは何 N か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、重力加速度の大きさを とし、支えが棒におよぼす力は鉛直上向きとする。
鉛直な壁の点 A に、長さ 、質量 の一様な棒 AB の端 A を、なめらかに回転できるちょうつがいで取り付けた。棒の他端 B に質量 のおもりを軽い糸でつるし、さらに B と、壁上で A の真上にある点 C とを軽い糸で結んだところ、棒 AB は水平になって静止した。このとき、糸 BC と棒 AB のなす角は であった。糸 BC の張力の大きさを、, と重力加速度の大きさ を用いて表せ。
長さ の太さが一様でない（重心の位置がわからない）棒 AB がある。棒の両端 A, B にそれぞれ軽い糸をつけ、2 本の糸の上端をそれぞればねばかりにつないで、糸が鉛直になるように棒を水平につるしたところ、棒は静止し、A 側のばねばかりは 、B 側のばねばかりは を示した。棒の重心は A から何 m の位置にあるか。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、ばねばかりは糸の張力の大きさを示すものとする。
ばねばかりは省略して、糸の張力の大きさを書いた 長さ のまっすぐな剛体の棒 が水平に置かれ、左端 は鉛直な壁にピンで取り付けられていて、 のまわりに鉛直面内で自由に回転できる。棒の上の点 （）と右端 は、それぞれ鉛直な鋼の棒 1、棒 2 で天井からつり下げられている。棒 1 と棒 2 の上端は天井に、下端は剛体の棒にピンで取り付けられている。棒 1 は長さ 、断面積 、棒 2 は長さ 、断面積 であり、鋼の縦弾性係数は とする。
はじめ剛体の棒は水平で、棒 1・棒 2 には力がはたらいていない。この状態で、端 に鉛直下向きの荷重 を加えた。剛体の棒の重さと棒 1・棒 2 の重さは無視し、変形は小さく、棒 1・棒 2 は鉛直のまま弾性範囲内で伸びるものとする。このとき、棒 2 に生じる軸力（引張力）の大きさは何 か。
棒 1棒 2図は正確とは限りません 鉛直な壁の点 A に、長さ 、質量 の一様な細い棒 AB の端 A を、なめらかに回転できるちょうつがいで取りつける。棒の他端 B に軽くて伸びない糸の一端をつなぎ、糸の他端を A の真上の壁の点 C に固定したところ、棒は水平になって静止した。このとき、糸 BC と棒 AB のなす角は である。さらに、棒の上の点 D（）に軽い糸で質量 のおもりをつるしたところ、棒は水平のまま静止した。
棒、壁、糸はすべて同じ鉛直面内にあり、重力加速度の大きさを とする。このとき、糸 BC の張力の大きさを , を用いて表せ。
貯水槽の鉛直な壁に、幅 、高さ の長方形の水門がある。水門の上辺は水平で、水面から深さ の位置にあり、上辺に沿った水平な軸（ちょうつがい）のまわりに自由に回転できる。水門の反対側（外側）は大気に接している。水門の下辺の位置に、外側から水平に大きさ の力を加えて、水門が鉛直のまま閉じた状態を保っている。
水は密度 の静止した非圧縮性流体とし、水面は大気に接している。重力加速度の大きさを とする。水門の質量、ちょうつがいの摩擦、水門の厚さは無視し、水門の下辺には 以外の力（壁から受ける力など）ははたらかないとする。
を を用いて表せ。
長さ の水平な剛体の棒 がある。左端 は鉛直な壁にピンで取り付けられ、棒は のまわりに鉛直面内で自由に回転できる。 から右へ の点 と、右端 （ から ）は、それぞれ鉛直な棒 1、棒 2 で上からつるされている。棒 1、棒 2 の上端は、動かない天井にピンで取り付けられている。
- 棒 1 は鋼製で、長さ 、断面積 、縦弾性係数 である。
- 棒 2 は黄銅製で、長さ 、断面積 、縦弾性係数 、線膨張係数 である。
はじめ、棒 は水平で、棒 1、棒 2 には応力が生じていない。この状態から、点 に鉛直下向きの荷重 を加え、さらに棒 2 だけの温度を一様に 上げた（棒 1 の温度は変えない）。このとき棒 2 に生じる垂直応力（引張を正とする）は何 か。整数で求めよ。
ただし、棒 と棒 1、棒 2 の重さは無視し、棒 1、棒 2 は弾性範囲内で変形するものとする。棒 の回転角は十分小さく、点 , は鉛直方向にだけ動き、棒 1、棒 2 は鉛直のままとみなしてよい。
棒 1（鋼）棒 2（黄銅）水平であらい床の上に、高さ の台が置かれている。台の上面の端は床に平行な直線状の角になっていて、この角はなめらかである。長さ 、質量 の一様な細い棒の一端 A を床につけ、棒を角に立てかけたところ、棒は角と直交する鉛直面内にあり、床と の角をなして静止した。棒は A と反対側の端が角より先に突き出た状態で、角とは棒の途中の 1 点で接しており、台の側面とは触れていない。ここで とする。
棒が静止を保つために必要な、A と床の間の静止摩擦係数の最小値を、, を用いて表せ。重力加速度の大きさを とする。
台なめらかな鉛直の壁と、あらい水平な床がある。長さ 、質量 の一様なはしご AB の下端 A を床に、上端 B を壁につけ、はしごが床と の角をなすように立てかけた。はしごは壁に垂直な鉛直面内にある。質量 の人が A からはしごをゆっくり上っていくと、人が A からはしごにそって距離 の位置に達したとき、はしごがすべり始めた。はしごと床の間の静止摩擦係数を とするとき、 を を用いて表せ。ただし、人は大きさの無視できる質点とみなし、はしごの太さは無視する。
長さ 、質量 の一様な細い棒 AB の端 B に、大きさの無視できる質量 の小さなおもりを固定した。棒の両端 A, B にそれぞれ長さ の軽くて伸びない糸をつけ、2 本の糸の他端を天井の同じ点 O に固定して、棒を静かにつるした。棒と 2 本の糸は同じ鉛直面内にあり、全体は静止している。このとき三角形 OAB は 1 辺の長さ の正三角形であり、棒は水平から傾いて、B が A より低くなっている。
棒 AB が水平面となす角を とするとき、 を , を用いて表せ。
傾きの大きさは正確ではない 剛体とみなせるまっすぐな水平の棒 がある。左端 は鉛直な壁にピンで取り付けられ、棒は のまわりに鉛直面内で自由に回転できる。棒の上の点 , は , の位置にあり、右端 は の位置にある（ は長さを表す文字で、答えはその値によらない）。
は鉛直な鋼の棒 1 で、 は鉛直なアルミニウム合金の棒 2 で、それぞれ上方からつり下げられている。棒 1 の上端は、 の真上で棒 から高さ の位置にある固定された支持部に、棒 2 の上端は、 の真上で棒 から高さ の位置にある別の固定された支持部に結合されている（2 つの支持部は高さが異なる）。棒 1, 2 の両端はピンで結合されている。荷重を加える前、棒 は水平で、棒 1, 2 はどちらも自然の長さで、力がはたらいていない。棒 1 は長さ 、断面積 、縦弾性係数 、棒 2 は長さ 、断面積 、縦弾性係数 である。
右端 に鉛直下向きの荷重 を加えた。棒 の自重は無視し、壁・支持部は変形せず、棒 1, 2 は弾性範囲内にあるとする。また、変位は微小で、棒 1, 2 は変形後も鉛直とみなせるものとする。このとき、点 の鉛直下向きの変位 [mm] を小数で正確に求めよ。
棒 1棒 2荷重を加える前の状態
この技能の次に学べること
- 剛体のつり合い （高校物理 力と運動）
- 慣性モーメントの計算 （大学物理 力学（質点・剛体））
- 角運動量とトルク （大学物理 力学（質点・剛体））
- 丸軸のねじり応力とねじれ角 （大学物理 材料力学）
- ニュートンの粘性法則とクエット流 （大学物理 流体力学・連続体）