剛体のつり合い

長さ $l$、質量 $m$ の一様な棒 $\mathrm{AB}$ がある。棒の端 $\mathrm{A}$ は鉛直な壁にちょうつがいで取り付けられていて、棒は $\mathrm{A}$ のまわりに鉛直面内でなめらかに回ることができる。棒の他端 $\mathrm{B}$ に軽くて伸びない糸の一端を結び、糸の他端を $\mathrm{A}$ の真上の壁の点 $\mathrm{C}$ に固定したところ、棒は水平になって静止した。このとき、糸と棒のなす角は $30^{\circ }$ であった。重力加速度の大きさを $g$ とする。

棒がちょうつがいから受ける力の水平成分の大きさを、$m$, $g$ を用いて表せ。

鉛直な壁の点 $\mathrm{A}$ に、長さ $L$、質量 $m$ の一様な棒 $\mathrm{AB}$ の端 $\mathrm{A}$ をちょうつがいで取り付けた。棒のもう一方の端 $\mathrm{B}$ に軽くて伸びない糸の一端を結び、糸の他端を点 $\mathrm{A}$ の真上にある壁の点 $\mathrm{C}$ に固定したところ、棒は水平になって静止した。このとき、糸と棒のなす角は $30^{\circ }$ であった。重力加速度の大きさを $g$ とする。棒がちょうつがいから受ける力の大きさを、$m$, $g$ を用いて求めよ。

長さ $L$、質量 $m$ の一様な細い棒 AB の下端 A を、あらい水平な床の上に置く。上端 B に軽い糸をつけ、糸を棒に垂直な向きで、床から遠ざかる側（斜め上向き）に引いた。すると、棒は床と $30^{\circ }$ の角をなして静止した。糸と棒は同じ鉛直面内にある。重力加速度の大きさを $g$ とする。棒の下端 A が床から受ける垂直抗力の大きさを、$m$, $g$ を用いて表せ。

長さ $2.0\mathrm{m}$、質量 $6.0\mathrm{kg}$ の一様な棒 PQ を水平にし、左端 P と、P から右へ $1.5\mathrm{m}$ の点 R の 2 か所で、それぞれ下から支えた。さらに、右端 Q に軽い糸で質量 $4.0\mathrm{kg}$ のおもりをつるしたところ、棒は水平のまま静止した。点 R で棒が支えから受ける力の大きさは何 N か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とし、支えが棒におよぼす力は鉛直上向きとする。

鉛直な壁の点 A に、長さ $L$、質量 $m$ の一様な棒 AB の端 A を、なめらかに回転できるちょうつがいで取り付けた。棒の他端 B に質量 $M$ のおもりを軽い糸でつるし、さらに B と、壁上で A の真上にある点 C とを軽い糸で結んだところ、棒 AB は水平になって静止した。このとき、糸 BC と棒 AB のなす角は $30^{\circ }$ であった。糸 BC の張力の大きさを、$m$, $M$ と重力加速度の大きさ $g$ を用いて表せ。

長さ $1.5\mathrm{m}$ の太さが一様でない（重心の位置がわからない）棒 AB がある。棒の両端 A, B にそれぞれ軽い糸をつけ、2 本の糸の上端をそれぞればねばかりにつないで、糸が鉛直になるように棒を水平につるしたところ、棒は静止し、A 側のばねばかりは $12\mathrm{N}$、B 側のばねばかりは $18\mathrm{N}$ を示した。棒の重心は A から何 m の位置にあるか。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、ばねばかりは糸の張力の大きさを示すものとする。

鉛直な壁の点 A に、長さ $L$、質量 $m$ の一様な細い棒 AB の端 A を、なめらかに回転できるちょうつがいで取りつける。棒の他端 B に軽くて伸びない糸の一端をつなぎ、糸の他端を A の真上の壁の点 C に固定したところ、棒は水平になって静止した。このとき、糸 BC と棒 AB のなす角は $30^{\circ }$ である。さらに、棒の上の点 D（$\mathrm{AD}=\frac{3}{4}L$）に軽い糸で質量 $2m$ のおもりをつるしたところ、棒は水平のまま静止した。

棒、壁、糸はすべて同じ鉛直面内にあり、重力加速度の大きさを $g$ とする。このとき、糸 BC の張力の大きさを $m$, $g$ を用いて表せ。

水平であらい床の上に、高さ $h$ の台が置かれている。台の上面の端は床に平行な直線状の角になっていて、この角はなめらかである。長さ $L$、質量 $m$ の一様な細い棒の一端 A を床につけ、棒を角に立てかけたところ、棒は角と直交する鉛直面内にあり、床と $30^{\circ }$ の角をなして静止した。棒は A と反対側の端が角より先に突き出た状態で、角とは棒の途中の 1 点で接しており、台の側面とは触れていない。ここで $2h<L<\frac{16}{3}h$ とする。

棒が静止を保つために必要な、A と床の間の静止摩擦係数の最小値を、$h$, $L$ を用いて表せ。重力加速度の大きさを $g$ とする。

なめらかな鉛直の壁と、あらい水平な床がある。長さ $L$、質量 $m$ の一様なはしご AB の下端 A を床に、上端 B を壁につけ、はしごが床と $60^{\circ }$ の角をなすように立てかけた。はしごは壁に垂直な鉛直面内にある。質量 $2m$ の人が A からはしごをゆっくり上っていくと、人が A からはしごにそって距離 $x$ の位置に達したとき、はしごがすべり始めた。はしごと床の間の静止摩擦係数を $\frac{\sqrt{3}}{4}$ とするとき、$x$ を $L$ を用いて表せ。ただし、人は大きさの無視できる質点とみなし、はしごの太さは無視する。

長さ $L$、質量 $m$ の一様な細い棒 AB の端 B に、大きさの無視できる質量 $M$ の小さなおもりを固定した。棒の両端 A, B にそれぞれ長さ $L$ の軽くて伸びない糸をつけ、2 本の糸の他端を天井の同じ点 O に固定して、棒を静かにつるした。棒と 2 本の糸は同じ鉛直面内にあり、全体は静止している。このとき三角形 OAB は 1 辺の長さ $L$ の正三角形であり、棒は水平から傾いて、B が A より低くなっている。

棒 AB が水平面となす角を $\theta \left(0<\theta <\frac{\pi }{2}\right)$ とするとき、$\tan \theta$ を $m$, $M$ を用いて表せ。