力と運動の問題

幾何
棒と角の接点を P とする。P は床からの高さ $h$ にあり、棒は床と $30^{\circ }$ をなすので
$$\mathrm{AP}=\frac{h}{\sin 30^{\circ }}=2h.$$
$L>2h$ なので P は確かに棒の途中にある。

はたらく力
- 重力 $mg$（鉛直下向き、棒の中点 G。$\mathrm{AG}=\frac{L}{2}$）
- 角からの垂直抗力 $R$：角はなめらかなので摩擦はなく、抗力は棒に垂直で、棒を押し上げる向きにはたらく
- 床からの垂直抗力 $N$（鉛直上向き）と静止摩擦力 $F$（水平）

棒が A から台に向かう向きを水平右向きとすると、棒に垂直で上向きの向きは、水平成分が左向き、鉛直成分が上向きである。$R$ の水平成分の大きさは $R\sin 30^{\circ }=\frac{R}{2}$（左向き）、鉛直成分は $R\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}R$（上向き）となる。

A のまわりの力のモーメントのつりあい
棒は静止しているので、どの点のまわりでも力のモーメントの和は $0$ である。A のまわりで考えると $N$ と $F$ のモーメントは $0$。$R$ は棒に垂直なのでうでの長さは $\mathrm{AP}=2h$、重力のうでの長さは $\frac{L}{2}\cos 30^{\circ }$ である。
$$R\cdot 2h=mg\cdot \frac{L}{2}\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{4}mgL⟹R=\frac{\sqrt{3}mgL}{8h}.$$

力のつりあい
水平方向: $R$ の水平成分が左向きなので、摩擦力は右向きで
$$F=\frac{R}{2}=\frac{\sqrt{3}mgL}{16h}.$$
鉛直方向:
$$N+\frac{\sqrt{3}}{2}R=mg⟹N=mg-\frac{3mgL}{16h}=\frac{mg(16h-3L)}{16h}.$$
$L<\frac{16}{3}h$ より $N>0$ で、A は床から離れない。

すべらない条件
静止摩擦係数を $\mu$ とすると、すべらないためには $F\le \mu N$ が必要である。
$$\mu \ge \frac{F}{N}=\frac{\sqrt{3}mgL}{16h}\cdot \frac{16h}{mg(16h-3L)}=\frac{\sqrt{3}L}{16h-3L}.$$
よって、求める最小値は $\frac{\sqrt{3}L}{16h-3L}$ である。

棒が角 C に接する点は、床からの高さ $h$、棒の傾きが $30^{\circ }$ なので、A から棒に沿って $AC=\frac{h}{\sin 30^{\circ }}=2h$ の位置である（$L>2h$ より、棒は角より先に突き出ている）。

棒にはたらく力は、重力 $mg$（重心は A から $\frac{L}{2}$ の位置、鉛直下向き）、角からの垂直抗力 $N$（角はなめらかなので棒に垂直。向きは棒に垂直で斜め上向き）、床からの垂直抗力 $R$（鉛直上向き）、床からの静止摩擦力 $f$（水平）。

点 A のまわりの力のモーメントのつりあい（$R$ と $f$ は A を通るのでモーメントが 0）: 重力のうでの長さは $\frac{L}{2}\cos 30^{\circ }$、$N$ のうでの長さは $AC=2h$ なので
$$N\cdot 2h=mg\cdot \frac{L}{2}\cos 30^{\circ }=mg\cdot \frac{\sqrt{3}L}{4}\Rightarrow N=\frac{\sqrt{3}L}{8h}mg$$

$N$ の向きは棒に垂直なので、鉛直成分は $N\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}N$、水平成分は $N\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}N$（台から遠ざかる向き、つまり A 側へ向かう向き）。

鉛直方向: $R+\frac{\sqrt{3}}{2}N=mg$ より
$$R=mg-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}L}{8h}mg=\left(1-\frac{3L}{16h}\right)mg$$
$L<\frac{16}{3}h$ なので $R>0$ である。

水平方向: $f=\frac{1}{2}N=\frac{\sqrt{3}L}{16h}mg$（台のほうへ向かう向き）。

すべらない条件は $f\le \mu R$ なので
$$\mu \ge \frac{f}{R}=\frac{\frac{\sqrt{3}L}{16h}}{1-\frac{3L}{16h}}=\frac{\sqrt{3}L}{16h-3L}$$

確かめ: $L=4h$ とすると $N=\frac{\sqrt{3}}{2}mg$、$R=(1-\frac{3}{4})mg=\frac{1}{4}mg$、$f=\frac{\sqrt{3}}{4}mg$ で $\mu =\sqrt{3}$。公式では $\frac{4\sqrt{3}h}{16h-12h}=\sqrt{3}$ で一致。また $L\to \frac{16}{3}h$ で $R\to 0$ となり $\mu \to \infty$ なので、問題文の条件の上限とも整合する。

答え: ${\mu }_{\min }=\frac{\sqrt{3}L}{16h-3L}$。