力と運動の問題

水平な床の上に、水平面と $30^{\circ }$ の角をなすなめらかな斜面をもつ台が固定されている。斜面の上端には軽くてなめらかに回る滑車が取り付けてある。斜面上に質量 $m$ の小物体 A を置き、A に軽くて伸びない糸をつけ、糸を斜面に平行に張って滑車にかけ、糸の他端に質量 $2m$ のおもり B をつるした。B の底面は床から高さ $h$ の位置にある。全体が静止した状態から静かに手をはなすと、A は斜面を上り、B は鉛直に下降して床に衝突し、そのまま床の上で静止した。A が手をはなした位置から斜面にそって上った距離の最大値を、$h$ を用いて表せ。ただし、A は滑車に達せず、B が床に衝突したあと糸はたるんで A に力をおよぼさないものとする。また、空気抵抗は無視する。

水平であらい机の上に質量 $M$ の物体 A を置く。A に軽くて伸びない糸の一端をつけ、糸を水平に机の右端まで張り、机の右端に固定した軽い定滑車にかける。糸はそこから鉛直下向きにのび、軽い動滑車の下を通って鉛直上向きにのび、他端を天井の点 Q に固定する。動滑車には質量 $m$ の物体 B をつるす。動滑車の両側の糸はどちらも鉛直であり、A と定滑車の間の糸は水平である。

A と机の間の動摩擦係数を $\mu$、重力加速度の大きさを $g$ とする。滑車はなめらかに回り、滑車の質量、糸の質量、空気抵抗は無視する。また $m>2\mu M$ とする。

はじめ全体を静止させておき、静かに手をはなすと、A は右向きに、B は鉛直下向きに動き出した。A が机の上をすべっている間の糸の張力の大きさを、$M$, $m$, $\mu$, $g$ を用いて表せ。

なめらかで水平な床の上に、質量 $M$ の三角台が置かれている。三角台の斜面はなめらかで、水平面と $30^{\circ }$ の角をなし、右下がりになっている。斜面上に質量 $m$ の小物体を置き、小物体と三角台を同時に静かにはなしたところ、小物体は斜面をすべり下り、三角台は床の上を左向きにすべった。小物体が斜面上をすべっている間に、小物体が斜面から受ける垂直抗力の大きさを、$M$, $m$ と重力加速度の大きさ $g$ を用いて表せ。ただし、三角台は回転せず、床から浮き上がらないものとする。また、空気抵抗は無視する。

水平であらい床の上に、高さ $h$ の台が置かれている。台の上面の端は床に平行な直線状の角になっていて、この角はなめらかである。長さ $L$、質量 $m$ の一様な細い棒の一端 A を床につけ、棒を角に立てかけたところ、棒は角と直交する鉛直面内にあり、床と $30^{\circ }$ の角をなして静止した。棒は A と反対側の端が角より先に突き出た状態で、角とは棒の途中の 1 点で接しており、台の側面とは触れていない。ここで $2h<L<\frac{16}{3}h$ とする。

棒が静止を保つために必要な、A と床の間の静止摩擦係数の最小値を、$h$, $L$ を用いて表せ。重力加速度の大きさを $g$ とする。

水平であらい机の上に質量 $3.0\mathrm{kg}$ の物体 A を置き、A に軽くて伸びない糸をつけた。糸を水平に張って机の右端に固定した軽くてなめらかに回る滑車にかけ、糸の他端に質量 $2.0\mathrm{kg}$ の物体 B をつるした。静かに手をはなすと、A は机の上をすべり、B は鉛直に下降した。A と机の間の動摩擦係数を $0.25$、重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。A が運動している間、糸の張力の大きさは何 N か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、空気抵抗は無視し、A は滑車に達しないものとする。