力と運動の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル高校物理力と運動

水平であらい机の上に質量 $M$ の物体 A を置く。A に軽くて伸びない糸の一端をつけ、糸を水平に机の右端まで張り、机の右端に固定した軽い定滑車にかける。糸はそこから鉛直下向きにのび、軽い動滑車の下を通って鉛直上向きにのび、他端を天井の点 Q に固定する。動滑車には質量 $m$ の物体 B をつるす。動滑車の両側の糸はどちらも鉛直であり、A と定滑車の間の糸は水平である。

A と机の間の動摩擦係数を $μ$ 、重力加速度の大きさを $g$ とする。滑車はなめらかに回り、滑車の質量、糸の質量、空気抵抗は無視する。また $m > 2 μ M$ とする。

はじめ全体を静止させておき、静かに手をはなすと、A は右向きに、B は鉛直下向きに動き出した。A が机の上をすべっている間の糸の張力の大きさを、 $M$ , $m$ , $μ$ , $g$ を用いて表せ。

Q

AB定滑車動滑車

この問題で使うもの

動滑車と加速度の関係（説明と入口の問題）
あらい面・斜面上の運動（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（44 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

動滑車が距離 x 下がると、A はどれだけ動くかを考え、A と B の加速度の関係を求めよう。

ヒント 2

A の加速度を a とすると B の加速度は a/2。B と動滑車には上向きに張力 2T がはたらく。A には動摩擦力 μMg がはたらく。

ヒント 3

運動方程式は Ma = T − μMg と m(a/2) = mg − 2T。この 2 式から a を消去しよう。

答えと解説

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\frac{( 2 + μ ) M m g}{4 M + m}

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加速度の関係（束縛条件）

A の右向きの加速度の大きさを $a$ 、B（動滑車）の鉛直下向きの加速度の大きさを $b$ とする。

糸の長さは一定である。動滑車が $x$ だけ下がると、動滑車の両側の鉛直部分がそれぞれ $x$ ずつ長くなるので、合計 $2 x$ の糸が必要になり、その分だけ A は定滑車の方へ $2 x$ 引き寄せられる。したがって A の移動距離は B の移動距離の 2 倍で、加速度についても
$a = 2 b$

張力

糸は軽く、滑車は軽くてなめらかに回るので、糸のどの部分でも張力の大きさは等しい。これを $T$ とする。

A の運動方程式（右向きを正）

A には右向きに張力 $T$ 、左向きに動摩擦力がはたらく。鉛直方向のつり合いから垂直抗力は $M g$ なので、動摩擦力の大きさは $μ M g$ である。
$M a = T - μ M g (1)$

B と動滑車の運動方程式（鉛直下向きを正）

動滑車は軽いので、B と動滑車をひとまとめにして考える。動滑車には両側の糸から上向きに $T$ ずつ、合計 $2 T$ の力がはたらく。
$mb = m g - 2 T (2)$

連立して解く

$b = \frac{a}{2}$ を $(2)$ に代入すると
$\frac{ma}{2} = m g - 2 T ⟹ a = \frac{2 ( m g - 2 T )}{m}$
これを $(1)$ に代入して
$\frac{2 M ( m g - 2 T )}{m} = T - μ M g$
両辺に $m$ をかけて
$2 M m g - 4 M T = m T - μ M m g$
$(4 M + m) T = (2 + μ) M m g$
$T = \frac{( 2 + μ ) M m g}{4 M + m}$

（確かめ）このとき $(1)$ より
$a = \frac{T}{M} - μg = \frac{( 2 + μ ) m g - μ ( 4 M + m ) g}{4 M + m} = \frac{2 ( m - 2 μ M ) g}{4 M + m}$
で、 $m > 2 μ M$ より $a > 0$ となり、A が右向きに加速するという設定と合う。

別解

糸の張力の大きさを $T$ とする。糸は軽く、滑車はなめらかなので、糸全体で張力は等しい。

動滑車（と B）は動滑車の両側の 2 本の糸で上向きに引かれる。B の加速度の大きさを $a$ （鉛直下向きを正）とすると、B の運動方程式は
$ma = m g - 2 T \dots ①$

糸の長さが一定であることから、B が距離 $y$ 下がると動滑車の両側の糸がそれぞれ $y$ 長くなり、A は右へ $2 y$ 動く。よって A の加速度の大きさは $2 a$ である。
A にはたらく垂直抗力は $M g$ なので動摩擦力は $μ M g$ （左向き）、A の運動方程式は
$M (2 a) = T - μ M g \dots ②$

①より $a = g - \frac{2 T}{m}$ 。これを②に代入して
$2 M (g - \frac{2 T}{m}) = T - μ M g$
$2 M g - \frac{4 M T}{m} = T - μ M g$
$(2 + μ) M g = T (1 + \frac{4 M}{m}) = T \cdot \frac{m + 4 M}{m}$

$T = \frac{( 2 + μ ) M m g}{m + 4 M}$

検算: $μ = 0$ のとき $T = \frac{2 M m g}{m + 4 M}$ 、 $a = g - \frac{4 M g}{m + 4 M} = \frac{m g}{m + 4 M}$ 、A の加速度は $\frac{T}{M} = \frac{2 m g}{m + 4 M} = 2 a$ となり矛盾しない。また $m > 2 μ M$ のとき $a = \frac{m g - 2 T}{m} = \frac{( m - 2 μ M ) g}{m + 4 M} > 0$ となり、問題文の運動の向き（B が下向き）と合う。

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