動滑車と加速度の関係

動滑車につるした物体の変位・加速度が糸の端の半分になること、軽い動滑車には上向きに $2 T$ がはたらくことを使って、動滑車を含む装置の運動方程式を立て、張力と加速度を求められる

前提

糸でつながれた物体の運動（高校物理力と運動）

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算数中学高校大学大学院

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糸でつながれた物体の運動（高校物理力と運動）

説明

動滑車を含む装置では、糸の端の物体と、動滑車につるした物体とで、動く距離も加速度も異なります。この技能を使うと、糸の長さが一定であることから「動滑車側の変位・加速度は糸の端の半分」という関係を導けます。さらに、動滑車に上向き $2 T$ の力がはたらくことを使って運動方程式を立て、加速度と張力を求められます。クレーンのフック部分（荷物をつるす動滑車）のように、小さな力で重い物を持ち上げる装置の解析に使います。

なぜそうしてよいのか

天井に糸の一端を固定し、糸を下へのばして動滑車の下をくぐらせ、上へのばして天井の定滑車にかけ、他端に物体をつるした装置を考えます。天井から動滑車の中心までの距離を $y$ 、定滑車から端の物体までの距離を $x$ とすると、糸の長さは $L = 2 y + x + (滑車に巻きついた部分などの一定の長さ)$ と表せます。糸は伸びないので $L$ は一定です。したがって $2Δ y + Δ x = 0$ となります。端の物体が $Δ x$ 下がると、動滑車は $\frac{Δ x}{2}$ 上がります。この関係はどの瞬間にも成り立つので、同じ時間での変化を考えれば、速さも加速度の大きさも動滑車側が糸の端の $\frac{1}{2}$ になります。

力については、軽い糸がなめらかな滑車にかかっているので、糸のどこでも張力は同じ大きさ $T$ です。動滑車は左右 2 本の糸で上に引かれるので、上向きに $T + T = 2 T$ の力を受けます。動滑車が軽い（質量を 0 とみなせる）ときは、動滑車の運動方程式の左辺は $0 \times (加速度) = 0$ なので、動滑車にはたらく力の合力は 0 です。そのため、動滑車が物体を引き上げる力（物体をつるす部分の張力）を $S$ とすると $2 T - S = 0$ 、つまり $S = 2 T$ となり、物体は上向きに $2 T$ で引かれます。こうして、動滑車とそれにつるした物体をひとまとめにして、上向きの $2 T$ と物体の重力がはたらく 1 つの物体とみなせます。

あとは前提の技能と同じく、物体ごとに運動方程式を立てて連立します。違いは、2 つの物体の加速度が等しくなく「 $a$ と $\frac{a}{2}$ 」になることと、動滑車側の張力が $2 T$ になることの 2 点だけです。

手順

糸の長さが一定であることから、変位の関係を確かめる。糸の端の物体が $Δ x$ 動くと、動滑車は $\frac{Δ x}{2}$ 動く。これをもとに、糸の端の物体の加速度を $a$ 、動滑車側の加速度を $\frac{a}{2}$ とおく。2 つの加速度の向きも決める（一方が下がれば他方は上がる）。
各物体にはたらく力を書き出す。糸の端の物体には張力 $T$ と重力がはたらく。動滑車（軽い）とそれにつるした物体をひとまとめにしたものには、上向きの $2 T$ と重力がはたらく。
物体ごとに、それぞれの運動の向きを正として運動方程式を立てる。例: $ma = m g - T$ 、 $M \cdot \frac{a}{2} = 2 T - M g$ 。
運動方程式を連立して $T$ を消去し、 $a$ を求める。必要なら $a$ を代入して $T$ も求める。

例題

天井に軽い糸の一端を固定する。糸を鉛直下向きにのばして軽い動滑車の下をくぐらせ、鉛直上向きにのばして天井に固定した軽い定滑車にかける。糸の他端には質量 $m$ の物体 A をつるす。動滑車には質量 $m$ の物体 B をつるす。糸の各部分はすべて鉛直で、糸は軽くて伸びず、滑車はなめらかに回るものとする。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。全体を静かに放すと A は下降した。A の加速度の大きさを求めよ。

例題の解答

【手順1】糸の長さは一定なので、A が下がった距離の半分だけ動滑車（と B）が上がる。そこで A の加速度を鉛直下向きに $a$ とおくと、B の加速度は鉛直上向きに $\frac{a}{2}$ となる。
【手順2】糸の張力の大きさを $T$ とする。A には上向きの張力 $T$ と下向きの重力 $m g$ がはたらく。動滑車と B をひとまとめにしたものには、上向きの $2 T$ と下向きの重力 $m g$ がはたらく（動滑車は軽いので、その重力は考えない）。
【手順3】A は下向きを正として $ma = m g - T$ …①。B は上向きを正として $m \cdot \frac{a}{2} = 2 T - m g$ …②。
【手順4】① より $T = m (g - a)$ 。これを ② に代入すると $\frac{ma}{2} = 2 m (g - a) - m g = m g - 2 ma$ 。両辺を $m$ で割ると $\frac{a}{2} + 2 a = g$ 、つまり $\frac{5}{2} a = g$ となり、 $a = \frac{2}{5} g$ 。 $a > 0$ なので、A が下降するという条件と合う。
（確認）このとき $T = m (g - \frac{2}{5} g) = \frac{3}{5} m g$ で、② の右辺は $\frac{6}{5} m g - m g = \frac{1}{5} m g$ 、左辺は $m \cdot \frac{1}{5} g$ となり一致する。

答え: $\frac{2}{5} g$

よくある誤り

定滑車の問題と同じように、2 物体の加速度を同じ $a$ としてしまう誤り。正しくは、動滑車側の加速度は糸の端の半分で、A が $a$ なら B は $\frac{a}{2}$ 。
動滑車につるした物体を引き上げる力を $T$ としてしまう誤り（例: $M \cdot \frac{a}{2} = T - M g$ ）。正しくは、動滑車は 2 本の糸で引かれるので上向きの力は $2 T$ で、 $M \cdot \frac{a}{2} = 2 T - M g$ 。
加速度の関係を逆にして、動滑車側を $2 a$ としてしまう誤り。糸の長さ $L = 2 y + x$ が一定なので $Δ y = - \frac{Δ x}{2}$ となり、動滑車側が「半分」になる。
2 物体の正の向きを同じ向き（例えばどちらも下向き）にとったのに、加速度の符号をそろえない誤り。どちらも下向きを正とするなら、B の加速度は $- \frac{a}{2}$ と書く必要がある。それぞれの運動の向きを正にとると混乱しにくい。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

動滑車と加速度の関係

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