力と運動の問題

手順 1: 糸の張力を決める

糸は軽いので、糸のどの部分でも張力の大きさは同じである。手が端 $\mathrm{Q}$ を $24\mathrm{N}$ で引いているので、糸の張力の大きさは $T=24\mathrm{N}$ である。

手順 2: 動滑車にはたらく力を考える

動滑車には、左右 2 本の糸がそれぞれ上向きに $T$ で引いている。よって、軽い動滑車は上向きに $2T$ の力で引かれる。動滑車は軽い（質量 $0$ とみなせる）ので、動滑車にはたらく力の合力は $0$ である。したがって、動滑車が物体をつるす部分から受ける下向きの力も $2T$ であり、物体は動滑車から上向きに $2T$ の力を受ける。

手順 3: 物体の運動方程式を立てる

物体の加速度を鉛直上向きに $a$ とする。物体には、上向きに $2T$、下向きに重力 $4.0\times 9.8\mathrm{N}$ がはたらくので、運動方程式は
$$4.0a=2\times 24-4.0\times 9.8=48-39.2=8.8$$
よって
$$a=2.2m/{\mathrm{s}}^2$$

手順 4: 糸の端と動滑車の加速度の関係を使う

端 $\mathrm{Q}$ が $x$ だけ上がると、糸の全長は変わらないので、動滑車の左右 2 本の糸の長さの合計が $x$ 短くなる。2 本は同じだけ短くなるので、1 本あたり $\frac{x}{2}$ 短くなり、動滑車（と物体）は $\frac{x}{2}$ 上がる。つまり、物体の変位は端 $\mathrm{Q}$ の変位の半分であり、加速度も半分になる。よって、端 $\mathrm{Q}$ の加速度の大きさは
$$2a=2\times 2.2=4.4m/{\mathrm{s}}^2$$

答え: $4.4m/{\mathrm{s}}^2$

糸の張力を $T$ とする。手が糸の端 $\mathrm{Q}$ を引く力が $24\mathrm{N}$ で、糸は軽く動滑車はなめらかなので、糸全体で張力は一定であり $T=24\mathrm{N}$ である。

動滑車（軽い）と物体を一体と考える。動滑車を支える糸は 2 本（$\mathrm{P}$ 側と $\mathrm{Q}$ 側）で、どちらも上向きに $T$ の力をはたらかせる。物体の加速度を鉛直上向きに $a$ とすると、運動方程式は
$4.0a=2T-4.0\times 9.8=48-39.2=8.8$
より $a=2.2m/{\mathrm{s}}^2$。

糸の長さは一定で、一端 $\mathrm{P}$ は固定されている。動滑車が距離 $x$ 上がると、動滑車の両側の糸がそれぞれ $x$ ずつ短くなる。その分だけ $\mathrm{Q}$ が上がるので、$\mathrm{Q}$ の変位は $2x$ である。よって $\mathrm{Q}$ の加速度は物体の加速度の 2 倍で
$a_Q=2\times 2.2=4.4m/{\mathrm{s}}^2$。

検算：$\mathrm{Q}$ の加速度を $4.4$ とすると物体の加速度は $2.2$。$2T=48\mathrm{N}$ から $39.2\mathrm{N}$ を引いた $8.8\mathrm{N}$ を質量 $4.0\mathrm{kg}$ で割ると $2.2$ となり、一致する。