糸でつながれた物体の運動

糸でつながれた 2 物体（定滑車にかけた糸を含む）について、加速度の大きさが等しいことを使って物体ごとの運動方程式を連立し、加速度と糸の張力を求められる

前提

運動方程式（高校物理力と運動）

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算数中学高校大学大学院

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運動方程式（高校物理力と運動）

説明

糸でつながれた 2 つの物体は、糸がたるまない限りいっしょに動きます。この技能では、物体ごとに運動方程式を立て、それらを連立して、共通の加速度と糸の張力を求めます。机の上の台車と、机の端の滑車から垂れ下がったおもり、定滑車にかけた糸の両端につるした 2 つのおもり（アトウッドの装置）などで使います。

なぜそうしてよいのか

「伸びない糸」でつながれていれば、糸の長さは変わりません。片方の物体が糸に沿って $Δ x$ 進むと、もう片方も糸に沿って同じ $Δ x$ だけ進みます。同じ時間に同じ距離だけ動くので速さが等しく、速さの変化のしかたも等しいので、加速度の大きさは 2 物体で同じ になります。そこで、加速度を共通の文字 $a$ で表せます。

さらに「軽い糸」（質量を無視できる糸）で、なめらかで軽い滑車にかかっているとき、糸がそれぞれの物体を引く力の大きさは両端で等しくなります。これも共通の文字 $T$ で表せます。未知数は $a$ と $T$ の 2 つで、物体ごとに運動方程式 $ma = F$ を 1 本ずつ立てれば式も 2 本なので、連立して両方が求まります。

このとき、それぞれの物体の正の向きは「糸に沿っていっしょに動く向き」にそろえます（たとえば、台車が滑車に近づく向きと、おもりが下がる向き）。こうすると、2 本の式を足したときに張力 $T$ が打ち消し合い、 $($ 質量の合計 $) \times a = ($ 外から動かす力の合計 $)$ という形になります。糸の張力は 2 物体が互いに引き合う力なので、全体をひとまとまりと見ると打ち消し合う、というのが直観的な理由です。

手順

物体ごとに、はたらく力（重力・垂直抗力・糸の張力）をすべて図示する。糸の張力は両端で同じ大きさ $T$ とおく。
物体ごとに正の向きを決める。糸に沿って「いっしょに動く向き」をそろえ、加速度の大きさを共通の $a$ とおく。
物体ごとに、運動方向の成分について運動方程式 $ma = F$ を立てる（運動方向に垂直な向きは、力のつり合いの式になる）。
2 本の運動方程式を足して $T$ を消去し、 $a$ を求める。その $a$ をどちらかの式に代入して $T$ を求める。
結果を確かめる。たとえば、つるしたおもりが下向きに加速しているなら $T$ はそのおもりの重さより小さいはずである。

例題

なめらかな水平な机の上に質量 $M$ の物体 A を置き、A に軽くて伸びない糸をつける。糸は机の端にあるなめらかで軽い定滑車にかけ、糸の他端に質量 $m$ の物体 B をつるす。A と滑車の間の糸は水平で、B は鉛直に垂れ下がっている。静かに手をはなすと、A は滑車に向かって、B は鉛直下向きに動きだした。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。A, B の加速度の大きさ $a$ と糸の張力の大きさ $T$ を、順に $M, m, g$ を用いて表せ。

例題の解答

【手順 1】A にはたらく力は、重力 $M g$ （鉛直下向き）、垂直抗力 $N$ （鉛直上向き）、糸の張力 $T$ （水平に滑車の向き）。B にはたらく力は、重力 $m g$ （鉛直下向き）と糸の張力 $T$ （鉛直上向き）。軽い糸となめらかで軽い滑車なので、張力は両端で同じ $T$ である。

【手順 2】A は滑車に近づく向き、B は鉛直下向きを正とする。糸は伸びないので、A と B の加速度の大きさは等しく、ともに $a$ とおける。

【手順 3】A について、鉛直方向はつり合っていて $N = M g$ 。水平方向の運動方程式は
$M a = T \dots (1)$
B について、鉛直下向きを正とした運動方程式は
$ma = m g - T \dots (2)$

【手順 4】(1) と (2) を辺々足すと $T$ が消えて
$(M + m) a = m g より a = \frac{m g}{M + m}$
これを (1) に代入して
$T = M a = \frac{M m g}{M + m}$

【手順 5】 $T = \frac{M}{M + m} m g$ で、 $\frac{M}{M + m} < 1$ なので $T < m g$ 。B は下向きに加速しているので、張力が B の重さより小さいことと合っている。

よって $a = \frac{m g}{M + m}$ 、 $T = \frac{M m g}{M + m}$ 。

答え: $(\frac{m g}{M + m}, \frac{M m g}{M + m})$

よくある誤り

つるしたおもりを引く糸の張力を、おもりの重さと同じ $T = m g$ としてしまう誤り。 $T = m g$ が成り立つのはおもりが静止（または等速）のときだけで、下向きに加速しているときは $ma = m g - T$ から $T = m (g - a) < m g$ となる。
2 物体の正の向きを、両方とも「上向き」のように空間の向きでそろえてしまう誤り。アトウッドの装置で質量 $m_{1} > m_{2}$ のおもりについて両方上向きを正とすると、加速度が $a$ と $- a$ になって符号を取り違えやすい。正しくは、糸に沿っていっしょに動く向き（ $m_{1}$ は下向き、 $m_{2}$ は上向き）を正とし、 $m_{1} a = m_{1} g - T$ 、 $m_{2} a = T - m_{2} g$ と立てる。
動かす力 $m g$ を、その力を直接受けている物体の質量だけで割って $a = \frac{m g}{m} = g$ や $a = \frac{m g}{M}$ としてしまう誤り。 $m g$ は糸でつながった 2 物体をまとめて加速させるので、正しくは $(M + m) a = m g$ より $a = \frac{m g}{M + m}$ 。
運動方程式を一方の物体についてだけ立てて、未知数 $a$ と $T$ を 1 本の式から求めようとしてしまう誤り。たとえば $M a = T$ だけでは $a$ も $T$ も決まらない。正しくは物体ごとに 1 本ずつ、計 2 本の式を立てて連立する。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

動滑車と加速度の関係（高校物理力と運動）
力学的エネルギー保存則（高校物理仕事・エネルギーと運動量）