力学（質点・剛体）の問題

質量 $M$、半径 $R$ の一様な円柱が、中心軸を水平にして粗い水平な床の上に置かれている。円柱の側面に軽くて伸びない糸を巻きつけ、糸の端を円柱の最上部から水平に引き出して、一定の大きさ $F$ の力で水平に引く。円柱は床の上をすべらずに転がった。このとき円柱の中心の加速度の大きさを $M$, $F$ を用いて表せ。ただし、糸は円柱の側面に対してすべらず、糸は常に円柱の最上部から水平にのびているものとし、転がり摩擦と空気抵抗は無視する。

質量 $m$、長さ $a$ の一様な細い棒 3 本の端どうしを固定して、正三角形の枠 $\mathrm{OAB}$ をつくった。枠の頂点 $\mathrm{O}$ を通り、枠の面に垂直な水平の固定軸のまわりに、枠が鉛直面内でなめらかに（摩擦なく）回転できるようにする。枠を、つりあいの位置（$\mathrm{O}$ の真下に辺 $\mathrm{AB}$ が水平にくる位置）から鉛直面内でわずかに傾けてはなすと、枠は微小な振動をする。

この微小振動の周期を、$a$ と重力加速度の大きさ $g$ を用いて求めよ。棒の太さ、つなぎ目の質量、空気抵抗は無視する。

質量 $M$、長さ $L$ の一様な細い棒 $\mathrm{AB}$ がある。棒の中心を $\mathrm{G}$ とする。棒の $\mathrm{G}$ と $\mathrm{A}$ のあいだの点 $\mathrm{P}$ に小さな穴をあけ、その穴に、棒に垂直な水平の固定軸を通して棒をつるす。棒は軸のまわりに鉛直面内でなめらかに（摩擦なく）回転でき、$\mathrm{PG}=x$ $\left(0<x\le \frac{L}{2}\right)$ とする。穴による質量分布の変化と空気抵抗は無視し、重力加速度の大きさを $g$ とする。

棒を鉛直なつり合いの位置から少し傾けて放すと、棒は微小振動をする。点 $\mathrm{P}$ の位置（$x$）をいろいろに変えたとき、この微小振動の周期の最小値を $L$, $g$ を用いて求めよ。

なめらかな水平な台に小さな穴 $\mathrm{O}$ があいている。軽くて伸びない糸を穴に通し、台の上の端に質量 $m$ の小物体 $\mathrm{P}$ を、台の下にたらした端に質量 $2m$ のおもりをつける。おもりは鉛直線上だけを運動するものとする。

はじめ、$\mathrm{P}$ は $\mathrm{O}$ から距離 $r_0$ の位置にあり、糸はぴんと張っている。この瞬間、おもりは静止しており、$\mathrm{P}$ には糸に垂直な水平方向の初速度（大きさ $v_0$）を与えた。その後、$\mathrm{P}$ は台の上を運動し、$\mathrm{O}$ からの距離は $r_0$ と $2r_0$ のあいだで増減をくり返した。

$v_0$ を $g$, $r_0$ で表せ。ただし、重力加速度の大きさを $g$ とし、台・穴と糸のあいだの摩擦や空気抵抗は無視する。糸は運動のあいだたるまず、$\mathrm{P}$ が穴に達することや、おもりが台に当たることはないものとする。

半径 $R$ の細い円形の針金（輪）が鉛直面内に置かれ、その鉛直な直径を軸として一定の角速度 $\omega$ で回転している。針金には質量 $m$ の小さな玉が通してあり、玉は針金にそってなめらかに（摩擦なく）動ける。輪の中心を $\mathrm{O}$、玉の位置を $\mathrm{P}$ とし、$\mathrm{OP}$ が鉛直下向きとなす角を $\theta$ とする。${\omega }^2>\frac{g}{R}$ のとき、輪とともに回転する座標系で玉が静止していられる位置のうち $0<\theta <\frac{\pi }{2}$ を満たすものについて、$\cos \theta$ を $g$, $R$, $\omega$ を用いて表せ。ただし $g$ は重力加速度の大きさであり、玉は質点とみなし、空気抵抗は無視する。