慣性モーメントの計算

$I = \int r_{⊥}^{2} d m$ を積分で計算して棒・円板・円柱・球・円錐などの慣性モーメントを求め、平行軸の定理 $I = I_{G} + M d^{2}$ と薄板の直交軸の定理 $I_{z} = I_{x} + I_{y}$ を使って別の軸のまわりの値を求められる

前提

力のモーメント（高校物理力と運動）
重積分の変数変換とヤコビアン（大学数学微分積分）

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算数中学高校大学大学院

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重積分の変数変換とヤコビアン（大学数学微分積分）

説明

慣性モーメント $I$ は、物体がある軸のまわりの回転をどれだけ変えにくいかを表す量で、直線運動での質量にあたります。軸からの距離（軸に垂直に測った距離） $r_{⊥}$ を使って $I = \int r_{⊥}^{2} d m$ と定義され、この技能ではこれを 1 重・2 重・3 重の積分で計算して、棒・円板・円柱・球・円錐などの慣性モーメントを求めます。さらに、重心を通る軸の値 $I_{G}$ から平行にずらした軸の値を求める平行軸の定理 $I = I_{G} + M d^{2}$ や、薄い板について $I_{z} = I_{x} + I_{y}$ が成り立つ直交軸の定理を使えば、積分をやり直さずに別の軸のまわりの値が求まります。

なぜそうしてよいのか

固定した軸のまわりを角速度 $ω$ で回る質点（質量 $m$ 、軸からの距離 $r_{⊥}$ ）を考えます。角速度の変化の割合（角加速度）を $β$ とすると、質点の円周方向の加速度は $r_{⊥} β$ なので、円周方向に必要な力は $F = m r_{⊥} β$ 、その軸のまわりの力のモーメントは $r_{⊥} F = m r_{⊥}^{2} β$ です。つまり同じ角加速度を生むのに必要な力のモーメントは $m r_{⊥}^{2}$ に比例します。剛体は質点の集まりなので、各部分の $r_{⊥}^{2} Δ m$ を足し合わせ、細かく分ける極限をとった $I = \int r_{⊥}^{2} d m$ が、剛体全体の「回しにくさ」になります。軸から遠い部分ほど $r_{⊥}^{2}$ で大きく効くので、同じ質量でも外側に質量が集まっているほど $I$ は大きくなります。

積分するときは、質量を密度で書き直します。一様な物体なら、線密度 $λ = M / L$ 、面密度 $σ = M / S$ 、密度 $ρ = M / V$ を使って $d m = λ d x$ 、 $σ d S$ 、 $ρ d V$ とします。円板や球のように軸のまわりに対称な形では、極座標（平面なら $d S = r d r d θ$ 、ヤコビアン $r$ ）や球座標（ $d V = r^{2} sin θ d r d θ d φ$ ）を使うと計算が楽になります。

平行軸の定理は次のように示せます。重心 G を通る軸と、それに平行で距離 $d$ だけ離れた軸を考え、軸に垂直な平面内で G を原点とする座標 $(x, y)$ をとり、もう一方の軸が $(d, 0)$ を通るとします。すると $r_{⊥}^{2} = (x - d)^{2} + y^{2} = x^{2} + y^{2} - 2 d x + d^{2}$ です。重心の定義から $\int x d m = 0$ なので、積分すると $I = I_{G} + M d^{2}$ となります。また $x y$ 平面内にある薄い板では、各点で $z = 0$ なので、 $z$ 軸・ $x$ 軸・ $y$ 軸からの距離の 2 乗はそれぞれ $x^{2} + y^{2}$ 、 $y^{2}$ 、 $x^{2}$ です。よって $I_{z} = I_{x} + I_{y}$ が成り立ちます（直交軸の定理。板の面内の 2 軸と、面に垂直な軸が 1 点で直交している場合）。

手順

回転軸を決め、物体の各点から軸までの垂直距離 $r_{⊥}$ を座標で表す。
一様な物体なら密度（ $λ = M / L$ 、 $σ = M / S$ 、 $ρ = M / V$ ）を求め、 $d m$ を $λ d x$ 、 $σ d S$ 、 $ρ d V$ で書く。対称性に合わせて極座標・円柱座標・球座標を選び、ヤコビアンを忘れずに付ける。
$I = \int r_{⊥}^{2} d m$ を積分範囲を決めて計算し、最後に密度を $M$ で書き直す。
求める軸が重心を通らないときは、重心を通る平行な軸の値 $I_{G}$ を求めてから $I = I_{G} + M d^{2}$ （ $d$ は 2 軸の距離）を使う。
薄い板で、面内の 2 本の直交軸の値がわかっている（または対称性で等しい）ときは、 $I_{z} = I_{x} + I_{y}$ で面に垂直な軸の値を求める（逆も同様）。

例題

質量 $M$ 、半径 $R$ の一様な薄い円板がある。円板の縁の 1 点を通り、円板の面に垂直な軸のまわりの慣性モーメントを、 $M$ , $R$ を用いて求めよ。

例題の解答

手順 1: まず、円板の中心（重心）G を通り面に垂直な軸を考える。中心を原点とする極座標 $(r, θ)$ をとると、各点から軸までの距離は $r_{⊥} = r$ 。

手順 2: 面密度は $σ = \frac{M}{π R ^{2}}$ 。極座標では $d S = r d r d θ$ なので $d m = σ r d r d θ$ 。

手順 3:
$I_{G} = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{R} r^{2} \cdot σ r d r d θ = σ \cdot 2 π \cdot \frac{R ^{4}}{4} = \frac{M}{π R ^{2}} \cdot \frac{π R ^{4}}{2} = \frac{1}{2} M R^{2}$

手順 4: 求める軸は、G を通る軸に平行で、距離 $d = R$ だけ離れている。平行軸の定理より
$I = I_{G} + M R^{2} = \frac{1}{2} M R^{2} + M R^{2} = \frac{3}{2} M R^{2}$

答え: $\frac{3}{2} M R^{2}$

よくある誤り

$r_{⊥}$ に軸までの垂直距離ではなく、原点（重心）からの距離を使ってしまう誤り。たとえば一様な球（半径 $R$ 、質量 $M$ ）で中心を通る軸のまわりを考えるとき、 $\int r^{2} d m$ を計算すると $\frac{3}{5} M R^{2}$ になってしまう。正しくは軸からの距離 $r sin θ$ を使って $\int (r sin θ)^{2} d m = \frac{2}{5} M R^{2}$ 。
極座標に変えるときにヤコビアンを落とし、 $d S = d r d θ$ としてしまう誤り。円板なら $σ \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{R} r^{2} d r d θ = \frac{2}{3} M R$ のように次元も合わない値になる。正しくは $d S = r d r d θ$ で、 $I_{G} = \frac{1}{2} M R^{2}$ 。
平行軸の定理を、重心を通らない軸どうしの間で使ってしまう誤り。 $I = I_{G} + M d^{2}$ の $I_{G}$ は必ず重心を通る軸の値。長さ $L$ の一様な棒で、端を通る軸の値 $\frac{1}{3} M L^{2}$ から反対側の端の軸へ $I = \frac{1}{3} M L^{2} + M L^{2}$ とするのは誤りで、正しくは重心を経由して $\frac{1}{12} M L^{2} + M (\frac{L}{2})^{2} = \frac{1}{3} M L^{2}$ 。
直交軸の定理を厚みのある立体にも使ってしまう誤り。 $I_{z} = I_{x} + I_{y}$ は $z = 0$ の面内に質量がある薄い板でだけ成り立つ。たとえば一様な球では 3 軸とも $\frac{2}{5} M R^{2}$ で、 $I_{z} \neq = I_{x} + I_{y}$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
質量 $M$ 、長さ $L$ の一様な細い棒 $AB$ がある。棒上で端 $A$ から距離 $\frac{L}{4}$ の点を $P$ とする。点 $P$ を通り棒に垂直な軸のまわりの、棒の慣性モーメントを $M$ , $L$ を用いて表せ。ただし、棒の太さは無視できるものとする。
$A$ $B$ $P$ 軸 $\frac{L}{4}$ $L$
棒 AB と回転軸（軸は棒に垂直）

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

慣性テンソルと主慣性モーメント（大学物理力学（質点・剛体））
固定軸のまわりの回転と転がり運動（大学物理力学（質点・剛体））