慣性テンソルと主慣性モーメント

慣性テンソルの成分 $I_{ij} = \int (r^{2} δ_{ij} - x_{i} x_{j}) d m$ （慣性乗積を含む）を計算し、その固有値として主慣性モーメントと主軸を求め、平行移動した点のまわりの慣性テンソルを求められる

前提

慣性モーメントの計算（大学物理力学（質点・剛体））
対称行列の直交対角化（大学数学線形代数）

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算数中学高校大学大学院

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対称行列の直交対角化（大学数学線形代数）

説明

剛体の 1 点 O を通る軸はいくらでもあり、軸の向きを変えるたびに慣性モーメントを積分し直すのは大変です。そこで、O のまわりの $3 \times 3$ の実対称行列である慣性テンソル $I_{ij} = \int (r^{2} δ_{ij} - x_{i} x_{j}) d m$ を一度計算しておくと、O を通るどの向きの軸のまわりの慣性モーメントも行列の計算で求められます。この行列を直交対角化したときの固有値が主慣性モーメント、固有ベクトルの向きが主軸です。さらに、重心のまわりの慣性テンソルから、平行移動した点のまわりの慣性テンソルも公式で求められます。

なぜそうしてよいのか

O を原点とする座標 $r = (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ をとり、O を通る向き $n$ （単位ベクトル）の軸を考えます。各点から軸までの距離の 2 乗は、三平方の定理より $r_{⊥}^{2} = r^{2} - (r \cdot n)^{2}$ です。 $∣ n ∣ = 1$ なので $r^{2} = r^{2} \sum_{i} n_{i}^{2} = \sum_{i, j} r^{2} δ_{ij} n_{i} n_{j}$ 、 $(r \cdot n)^{2} = \sum_{i, j} x_{i} x_{j} n_{i} n_{j}$ と書けます（ $δ_{ij}$ は $i = j$ のとき 1、 $i \neq = j$ のとき 0）。よって
$I_{n} = \int r_{⊥}^{2} d m = i, j \sum n_{i} (\int (r^{2} δ_{ij} - x_{i} x_{j}) d m) n_{j} = n^{T} I n$
となり、軸の向きによらない 1 つの行列 $I = (I_{ij})$ が決まります。対角成分 $I_{11} = \int (x_{2}^{2} + x_{3}^{2}) d m$ などは座標軸のまわりの慣性モーメントそのもので、非対角成分 $I_{12} = - \int x_{1} x_{2} d m$ などは慣性乗積と呼ばれます。 $I_{ij} = I_{j i}$ なので $I$ は実対称行列です。

実対称行列は直交行列で対角化でき、互いに直交する 3 本の単位固有ベクトル $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ と実数の固有値 $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ が得られます。この 3 方向を座標軸にとり直すと慣性乗積はすべて 0 になり、任意の軸について $I_{n} = I_{1} n_{1}^{2} + I_{2} n_{2}^{2} + I_{3} n_{3}^{2}$ （ $n_{k}$ は新しい座標での成分）と簡単になります。固有ベクトルの方向が主軸、固有値が主慣性モーメントで、O を通る軸のまわりの慣性モーメントの最大値と最小値は主慣性モーメントの中にあります。物体に対称面や対称軸があると、慣性乗積の一部が対称性から 0 になり、主軸を見つけやすくなります。

重心 G から点 P へのベクトルを $d = (d_{1}, d_{2}, d_{3})$ とし、P のまわりの座標を $r = r_{G} + d^{'}$ （ $r_{G}$ は G から見た位置、 $d^{'} = - d$ ）と書いて定義に代入すると、重心の性質 $\int r_{G} d m = 0$ により 1 次の項が消えて
$I_{ij}^{(P)} = I_{ij}^{(G)} + M (d^{2} δ_{ij} - d_{i} d_{j})$
が得られます（ $d^{2} = ∣ d ∣^{2}$ 、 $d$ の符号を逆にしても式は変わりません）。対角成分では平行軸の定理 $I = I_{G} + M d_{⊥}^{2}$ に一致し、非対角成分では慣性乗積が $- M d_{i} d_{j}$ だけずれます。

手順

原点（回転の基準点）と座標軸を決め、一様な物体なら密度を求めて $d m$ を書く。
対角成分 $I_{xx} = \int (y^{2} + z^{2}) d m$ 、 $I_{y y} = \int (z^{2} + x^{2}) d m$ 、 $I_{z z} = \int (x^{2} + y^{2}) d m$ と、慣性乗積 $I_{x y} = I_{y x} = - \int x y d m$ 、 $I_{y z} = - \int y z d m$ 、 $I_{z x} = - \int z x d m$ を計算する（重心まわりの値がわかっていれば $I_{ij}^{(P)} = I_{ij}^{(G)} + M (d^{2} δ_{ij} - d_{i} d_{j})$ を使ってもよい）。
$3 \times 3$ の実対称行列 $I$ を並べ、固有方程式 $det (I - λ E) = 0$ を解いて固有値（主慣性モーメント）を求める。
各固有値に対する固有ベクトルを求め、その向きを主軸とする。固有値が重なるときは、その固有空間の中で直交する 2 本を選ぶ。
必要なら、任意の軸 $n$ （単位ベクトル）のまわりの慣性モーメントを $I_{n} = n^{T} I n$ で求める。

例題

質量 $M$ 、1 辺の長さ $a$ の一様な正方形の薄い板が、 $x y$ 平面上の領域 $0 ≦ x ≦ a$ , $0 ≦ y ≦ a$ を占めている（板の厚さは無視する）。原点 O（板の 1 つの頂点）のまわりの慣性テンソルを求め、O のまわりの主慣性モーメントをすべて求めよ。

例題の解答

手順 1: 原点を O とする。面密度は $σ = \frac{M}{a ^{2}}$ 、 $d m = σ d x d y$ 。板の上では $z = 0$ 。

手順 2: $\int_{0}^{a} \int_{0}^{a} y^{2} d x d y = \frac{a ^{4}}{3}$ より $I_{xx} = \int y^{2} d m = σ \cdot \frac{a ^{4}}{3} = \frac{M a ^{2}}{3}$ 。同様に $I_{y y} = \int x^{2} d m = \frac{M a ^{2}}{3}$ 、 $I_{z z} = \int (x^{2} + y^{2}) d m = \frac{2 M a ^{2}}{3}$ 。慣性乗積は $\int_{0}^{a} \int_{0}^{a} x y d x d y = \frac{a ^{2}}{2} \cdot \frac{a ^{2}}{2}$ より $I_{x y} = - σ \cdot \frac{a ^{4}}{4} = - \frac{M a ^{2}}{4}$ 。 $z = 0$ なので $I_{y z} = I_{z x} = 0$ 。よって
$I = M a^{2} \frac{1}{3} - \frac{1}{4} 0 - \frac{1}{4} \frac{1}{3} 0 00 \frac{2}{3}$

手順 3: $z$ 成分は他と分かれているので、固有値の 1 つは $\frac{2}{3} M a^{2}$ 。残りは $2 \times 2$ の部分 $(\frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \frac{1}{3})$ の固有値で、 $(\frac{1}{3} - μ)^{2} = \frac{1}{16}$ より $μ = \frac{1}{3} \pm \frac{1}{4}$ 、すなわち $\frac{7}{12}$ , $\frac{1}{12}$ 。主慣性モーメントは $\frac{M a ^{2}}{12}$ , $\frac{7 M a ^{2}}{12}$ , $\frac{2 M a ^{2}}{3}$ 。

手順 4: 固有値 $\frac{M a ^{2}}{12}$ の固有ベクトルは $(1, 1, 0)$ （対角線の方向）、 $\frac{7 M a ^{2}}{12}$ は $(1, - 1, 0)$ 、 $\frac{2 M a ^{2}}{3}$ は $(0, 0, 1)$ で、これらが O のまわりの主軸である。（確認: 対角線は重心を通るので、その値 $\frac{M a ^{2}}{12}$ は重心を通る面内の軸の値と一致する。）

答え: ${\frac{M a ^{2}}{12}, \frac{7 M a ^{2}}{12}, \frac{2 M a ^{2}}{3}}$

よくある誤り

慣性乗積の符号を落として $I_{x y} = + \int x y d m$ としてしまう誤り。定義 $I_{ij} = \int (r^{2} δ_{ij} - x_{i} x_{j}) d m$ より、正しくは $I_{x y} = - \int x y d m$ 。上の例題で符号を逆にしても固有値は変わらないが、主軸の向き $(1, 1, 0)$ と $(1, - 1, 0)$ が入れ替わってしまう。
対角成分を $I_{xx} = \int x^{2} d m$ としてしまう誤り。 $I_{xx}$ は $x$ 軸のまわりの慣性モーメントなので、 $x$ 軸からの距離の 2 乗を使い、正しくは $I_{xx} = \int (y^{2} + z^{2}) d m$ 。
慣性テンソルを平行移動するときに、対角成分だけに $M d^{2}$ を足し、慣性乗積をそのままにしてしまう誤り。正しくは $I_{ij}^{(P)} = I_{ij}^{(G)} + M (d^{2} δ_{ij} - d_{i} d_{j})$ で、対角成分には $M (d^{2} - d_{i}^{2})$ （その軸に垂直な距離の 2 乗）を、慣性乗積には $- M d_{i} d_{j}$ を加える。たとえば正方形板では $I_{x y}^{(G)} = 0$ だが $I_{x y}^{(O)} = 0 - M \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} = - \frac{M a ^{2}}{4}$ 。
慣性テンソルの対角成分 $I_{xx}$ , $I_{y y}$ , $I_{z z}$ をそのまま主慣性モーメントとしてしまう誤り。慣性乗積が 0 でないときは座標軸が主軸ではないので、正しくは行列の固有値を求める。上の例題では $I_{xx} = \frac{M a ^{2}}{3}$ は主慣性モーメントではなく、主慣性モーメントは $\frac{M a ^{2}}{12}$ , $\frac{7 M a ^{2}}{12}$ , $\frac{2 M a ^{2}}{3}$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
$x y z$ 座標空間で、質量 $m$ の 2 つの質点が点 $A (a, 0, 0)$ と点 $B (a, a, 0)$ にあり、原点 $O$ と軽い棒で固定されて 1 つの剛体をなしている（ $a > 0$ ）。棒の質量は無視できる。
この剛体の原点 $O$ のまわりの慣性テンソル $I_{ij} = \sum m (r^{2} δ_{ij} - x_{i} x_{j})$ を求め、原点 $O$ のまわりの 3 つの主慣性モーメントのうち最小のものを、 $m$ , $a$ を用いて表せ。
$A (a, 0, 0)$ $B (a, a, 0)$ $x$ $y$ $O$
$x y$ 平面（ $z = 0$ ）を上から見た図

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

慣性テンソルによる角運動量とトルク（大学物理力学（質点・剛体））
四重極公式による重力波の放射率（大学院物理一般相対論）