基底の変換と表現行列

基底の取りかえ行列を求め、表現行列が $P^{- 1} A P$ に変わることを使える

前提

核と像と次元定理（大学数学線形代数）
掃き出し法による逆行列（大学数学線形代数）

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算数中学高校大学大学院

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線形変換と行列（大学数学線形代数）
核と像と次元定理（大学数学線形代数）
掃き出し法による逆行列（大学数学線形代数）

説明

線形写像を行列で表すとき、その行列は「どの基底を使うか」で変わります。この技能では、古い基底から新しい基底への取りかえ行列 $P$ を作り、新しい基底に関する表現行列を $P^{- 1} A P$ という計算で求められるようになります。計算しやすい基底に取りかえて写像の性質を調べる場面や、異なる基底での行列どうしの関係を調べる場面で使います。

なぜそうしてよいのか

$n$ 次元ベクトル空間 $V$ の基底 ${v_{1}, \dots, v_{n}}$ と線形写像 $f : V \to V$ を考えます。 $f (v_{j})$ をこの基底の一次結合で $f (v_{j}) = \sum_{i} a_{ij} v_{i}$ と表し、その係数を並べた行列 $A = (a_{ij})$ を、この基底に関する $f$ の表現行列といいます。まとめると $(f (v_{1}), \dots, f (v_{n})) = (v_{1}, \dots, v_{n}) A$ と書けます。 $A$ の第 $j$ 列は「 $f (v_{j})$ の座標」です。

別の基底 ${u_{1}, \dots, u_{n}}$ をとります。各 $u_{j}$ を古い基底で $u_{j} = \sum_{i} p_{ij} v_{i}$ と表すと $(u_{1}, \dots, u_{n}) = (v_{1}, \dots, v_{n}) P$ となります。この行列 $P = (p_{ij})$ を、基底 ${v_{i}}$ から ${u_{j}}$ への取りかえ行列といいます。第 $j$ 列は $u_{j}$ の古い座標です。ベクトルに座標を対応させる操作は一次結合を保つので、 $u_{1}, \dots, u_{n}$ が一次独立なら $P$ の列ベクトルも一次独立です。よって $P$ の階数は $n$ で、 $P$ は正則です。逆に $v$ たちを $u$ たちで表すと $(v_{1}, \dots, v_{n}) = (u_{1}, \dots, u_{n}) P^{- 1}$ となります。

$f$ の線形性から、次の等式が成り立ちます。
$(f (u_{1}), \dots, f (u_{n})) = (f (v_{1}), \dots, f (v_{n})) P = (v_{1}, \dots, v_{n}) A P = (u_{1}, \dots, u_{n}) P^{- 1} A P$
基底による表し方はただ一通りなので、新しい基底に関する表現行列は $B = P^{- 1} A P$ です。直観的には、右から順に次の 3 段階を行っています。
- 新しい座標を $P$ で古い座標に直す
- 古い座標で $A$ をかける
- $P^{- 1}$ で新しい座標に戻す

特に $V = R^{n}$ で、古い基底が標準基底、 $f (x) = A x$ のときは、 $P$ は新しい基底ベクトルを列として並べた行列そのものになります。

手順

古い基底での表現行列 $A$ を確認する（ $R^{n}$ で $f (x) = A x$ 、古い基底が標準基底なら $A$ そのもの）。
新しい基底の各ベクトル $u_{j}$ を古い基底の座標で表し、それを第 $j$ 列に並べて取りかえ行列 $P$ を作る： $(u_{1}, \dots, u_{n}) = (v_{1}, \dots, v_{n}) P$ 。
$(P ∣ E)$ を掃き出し、左側が $E$ になることで $P$ が正則だと確かめて、 $P^{- 1}$ を求める。
$B = P^{- 1} A P$ を計算する。先に $A P$ を求めてから左から $P^{- 1}$ をかけるとよい。
検算として、 $f (u_{j}) = \sum_{i} b_{ij} u_{i}$ が成り立つか（ $B$ の第 $j$ 列が $f (u_{j})$ の新しい座標か）を確かめる。

例題

$A = (1023)$ とし、線形変換 $f : R^{2} \to R^{2}$ を $f (x) = A x$ で定める。 $R^{2}$ の基底 $u_{1} = (11), u_{2} = (12)$ に関する $f$ の表現行列を $B$ とするとき、 $B$ の $(1, 2)$ 成分を求めよ。

例題の解答

手順1：標準基底に関する表現行列は $A = (1023)$ です。

手順2： $u_{1}, u_{2}$ の標準基底での座標はそれ自身なので、列に並べて $P = (1112)$ とします。

手順3： $(P ∣ E)$ を掃き出します。
$(11121001)$
第2行から第1行を引くと
$(1011 1 - 1 01)$
第1行から第2行を引くと
$(1001 2 - 1 - 1 1)$
左側が $E$ になったので $P$ は正則で、 $P^{- 1} = (2 - 1 - 1 1)$ です。

手順4：まず $A P = (1023) (1112) = (3356)$ です。
続けて $B = P^{- 1} A P = (2 - 1 - 1 1) (3356) = (3041)$ となります。

手順5（検算）：
- $f (u_{1}) = (33) = 3 u_{1} + 0 u_{2}$
- $f (u_{2}) = (56) = 4 u_{1} + 1 u_{2}$ （ $4 + 1 = 5, 4 + 2 = 6$ ）

どちらも $B$ の各列と一致します。

よって $(1, 2)$ 成分は $4$ です。

答え: $4$

よくある誤り

$P A P^{- 1}$ を計算してしまう誤り。正しくは、 $P$ の列が新しい基底の古い座標のとき、新しい表現行列は $P^{- 1} A P$ 。例題で $P A P^{- 1}$ を計算すると $P A = (1158)$ 、 $P A P^{- 1} = (- 3 - 6 47)$ になり、正しい $B = (3041)$ とは合わない。第1列が正しいなら $f (u_{1}) = - 3 u_{1} - 6 u_{2} = (- 9 - 15)$ となるはずだが、実際は $f (u_{1}) = (33)$ である。なお $(1, 2)$ 成分だけは偶然どちらも $4$ になるので、他の成分や手順5の検算で確かめないと誤りに気づけない。
新しい基底ベクトルを行として並べて $P$ を作ってしまう誤り。正しくは列として並べる。 $u_{1} = (11), u_{2} = (12)$ なら $P = (1112)$ で、この例では対称なので行に並べても偶然同じになる。しかし $u_{2} = (21)$ なら $P = (1121)$ で、行に並べた $(1211)$ とは異なる。
$A P$ を求めた段階で表現行列だと思ってしまう誤り。 $A P$ の第 $j$ 列は $f (u_{j})$ の標準基底での座標にすぎない（例題の $A P = (3356)$ ）。新しい基底での座標にするには、左から $P^{- 1}$ をかけて $P^{- 1} A P$ とする。
新しい基底として一次独立でないベクトルを選んでしまう誤り。そのとき $P$ は正則でなく $P^{- 1}$ が存在しないので、 $P^{- 1} A P$ の公式は使えない。たとえば $u_{1} = (12), u_{2} = (24)$ では、 $(P ∣ E)$ を掃き出しても左側が $E$ にならないことで判定できる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

対角化と行列の累乗（大学数学線形代数）
群の表現と指標（大学院数学表現論）
リー環の括弧積と随伴表現（大学院数学リー群・リー環）