線形代数の問題

手順 1：基底の取りかえ行列を作る。
標準基底から基底 $\{{\mathbf{u}}_1,{\mathbf{u}}_2\}$ への取りかえ行列 $P$ は、${\mathbf{u}}_1,{\mathbf{u}}_2$ を列に並べた行列である。
$$P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$$
$\det P=1\cdot 2-1\cdot 1=1\ne 0$ なので $P$ は正則であり、$\{{\mathbf{u}}_1,{\mathbf{u}}_2\}$ は確かに基底である。

手順 2：$P^{-1}$ を求める。
2 次の逆行列の公式より
$$P^{-1}=\frac{1}{1}\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 1\end{array}\right)$$

手順 3：$B=P^{-1}AP$ を計算する。
まず
$$AP=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 3& 6\end{array}\right)$$
次に
$$B=P^{-1}(AP)=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 3& 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6-3& 8-6\\ -3+3& -4+6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 0& 2\end{array}\right)$$

確認： $B$ の第 2 列が $(2,2)$ ということは $f({\mathbf{u}}_2)=2{\mathbf{u}}_1+2{\mathbf{u}}_2$ を意味する。実際 $A{\mathbf{u}}_2=\left(\begin{array}{c}4\\ 6\end{array}\right)$、$2{\mathbf{u}}_1+2{\mathbf{u}}_2=\left(\begin{array}{c}2+2\\ 2+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 6\end{array}\right)$ で一致する。

よって $B$ の $(1,2)$ 成分は $2$ である。

基底変換行列を $P=({\mathbf{u}}_1{\mathbf{u}}_2)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$ とすると、$B=P^{-1}AP$ である。$\det P=2-1=1$ より $P^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 1\end{array}\right)$。
$AP=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 3& 6\end{array}\right)$。
$B=P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 3& 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 0& 2\end{array}\right)$。
よって $(1,2)$ 成分は 2。
検算: $f({\mathbf{u}}_2)=A(1,2{)}^T=(4,6{)}^T$。$a{\mathbf{u}}_1+b{\mathbf{u}}_2=(a+b,a+2b)=(4,6)$ より $b=2,a=2$。したがって $B$ の第2列は $(2,2{)}^T$ で、$(1,2)$ 成分は 2 で一致する。また $f({\mathbf{u}}_1)=(3,3{)}^T=3{\mathbf{u}}_1$ で第1列は $(3,0{)}^T$ となり整合する。