線形代数の問題

方針 余因子行列 $\tilde{A}$ を使うと、逆行列は
$$A^{-1}=\frac{1}{\det A}\tilde{A}$$
と表せます。余因子行列の $(i,j)$ 成分は、$A$ の $(j,i)$ 余因子 $C_{ji}$ です（添字が入れかわることに注意します）。したがって
$$(A^{-1}{)}_{23}=\frac{C_{32}}{\det A}$$
です。

手順 1：行列式を求める 第 1 行で余因子展開すると
$$\det A=1\cdot \left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 1\end{array}\right|-2\cdot \left|\begin{array}{cc}0& 3\\ 2& 1\end{array}\right|+0\cdot \left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& 0\end{array}\right|=1\cdot (1-0)-2\cdot (0-6)+0=1+12=13.$$
$\det A=13\ne 0$ なので、$A$ は正則です。

手順 2：$(3,2)$ 余因子を求める $A$ から第 3 行と第 2 列を取り除くと $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$ が残るので、小行列式は
$$M_{32}=\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 3\end{array}\right|=3$$
です。符号 $(-1{)}^{3+2}=-1$ をかけて
$$C_{32}=(-1{)}^{3+2}{M}_{32}=-3.$$

手順 3：逆行列の成分を求める
$$(A^{-1}{)}_{23}=\frac{C_{32}}{\det A}=-\frac{3}{13}.$$

確かめ $A^{-1}$ の第 2 行は $\frac{1}{13}(C_{12},C_{22},C_{32})$ です。ここで $C_{12}=-\left|\begin{array}{cc}0& 3\\ 2& 1\end{array}\right|=6$、$C_{22}=\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right|=1$ なので、第 2 行は $\frac{1}{13}(6,1,-3)$ です。これと $A$ の各列との積は、第 1 列で $\frac{1}{13}(6+0-6)=0$、第 2 列で $\frac{1}{13}(12+1+0)=1$、第 3 列で $\frac{1}{13}(0+3-3)=0$ となります。これは単位行列の第 2 行に一致するので、答えは正しいことがわかります。

答え：$-\frac{3}{13}$

まず $\det A$ を第1列で展開して求める。$\det A=1\cdot (1\cdot 1-3\cdot 0)-0+2\cdot (2\cdot 3-0\cdot 1)=1+12=13$。

逆行列は $A^{-1}=\frac{1}{\det A}\tilde{A}$ で、余因子行列の $(i,j)$ 成分は ${\tilde{A}}_{ij}=C_{ji}$（$A$ の $(j,i)$ 余因子）である。したがって $(2,3)$ 成分には $C_{32}$ が対応する。

$C_{32}=(-1{)}^{3+2}{M}_{32}$。$A$ から第3行・第2列を除いた小行列は $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$ で、$M_{32}=3$。よって $C_{32}=-3$。

ゆえに $(A^{-1}{)}_{23}=-3/13$。

検算：$A^{-1}$ の第3列を $(x,y,z{)}^T$ とおくと $A(x,y,z{)}^T=(0,0,1{)}^T$ を解けばよい。
$x+2y=0$、$y+3z=0$、$2x+z=1$。
$x=-2y$、$z=-y/3$。$2x+z=-4y-y/3=-13y/3=1$ より $y=-3/13$。
これは $(2,3)$ 成分であり、一致する。